Resolver os seguintes PVIs
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial com uma condição inicial para resolver. A equação é
e sabemos que quando
,
. Vamos usar o método de separação de variáveis para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
para lados diferentes da equação. Isso significa que colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Multiplicando ambos os lados por
e
, temos:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integração de
em relação a
é
, e a integração de
em relação a
é
. Ficando assim:
Onde
é a constante de integração que vamos descobrir no próximo passo.
Passo 4
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial
. Substituindo
e
na equação que encontramos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 6:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
A solução do PVI é: