Resolver os seguintes PVIs
d yd x=xy^2, y(1)=2

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial com uma condição inicial para resolver. A equação é dydx = xy^2 e sabemos que quando x = 1, y = 2. Vamos usar o método de separação de variáveis para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis y e x para lados diferentes da equação. Isso significa que colocamos todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro. Multiplicando ambos os lados por y^2 e dx, temos:
y^2 , dy = x , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integração de y^2 , dy em relação a y é y^33, e a integração de x , dx em relação a x é x^22. Ficando assim:
integral y^2 , dy = integral x , dx implies y^33 = x^22 + C
Onde C é a constante de integração que vamos descobrir no próximo passo.

Passo 4

Para encontrar o valor de C, usamos a condição inicial y(1) = 2. Substituindo x = 1 e y = 2 na equação que encontramos:
2^33 = 1^22 + C implies 83 = 12 + C
Resolvendo para C:
C = 83 - 12 = 166 - 36 = 136

Passo 5

Com o valor de C encontrado, substituímos de volta na equação geral:
y^33 = x^22 + 136
Para simplificar, vamos multiplicar todos os termos por 6:
2y^3 = 3x^2 + 13
Dividindo ambos os lados por 2:
y^3 = 3x^2 + 132

Resposta

A solução do PVI é:
y = raiz[3], 3x^2 + 132 ,

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