O crescimento populacional pode ser modelado pelo problema de valor inicial apresentado na questão anterior.
a) Adapte o problema de valor inicial e a equação da solução obtida na questão anterior para representar um modelo de crescimento populacional.
b) Quais as hipóteses necessárias para que o modelo de crescimento populacional retrate crescimentos populacionais reais?

Passo 1

O enunciado pede para usar a equação de crescimento exponencial obtida antes (um PVI do tipo y’=k·y com y(x₀)=y₀) e adaptá-la para modelar o crescimento de uma população, depois listar as hipóteses que tornam esse modelo razoável.

Passo 2

Trocar as variáveis e constantes da forma geral para o contexto populacional: seja N(t) o tamanho da população no instante t, r a taxa de crescimento (constante), e N(t₀)=N₀ a população inicial. Assim o problema de valor inicial fica:
dNdt=r,N, N(t₀)=N₀

Passo 3

Aplicar a solução da equação y’=k·y, que é y(x)=y₀e^{k(x−x₀)}, ao nosso caso. A solução para N(t) é
$$N(t)=N₀,e^{r,(t−t₀)}.
N(t)=N₀,e^r,(t−t₀) N(t)=N₀,e^{r,t}.$$

Passo 4

Para que esse modelo represente fenômenos reais de crescimento populacional, assumimos várias hipóteses ideais: (1) taxa de natalidade e mortalidade combinadas constante (r fixo); (2) recursos ilimitados (sem efeito de capacidade de suporte); (3) população homogênea (todos os indivíduos têm as mesmas características); (4) sem migração (nem imigração nem emigração); (5) ambiente e condições externas constantes; (6) reprodução contínua sem atrasos nem sazonais.

Resposta

a) PVI adaptado: dfracdNdt=r,N,;N(0)=N0. Solução:
N(t)=N0,e^r,t
b) Hipóteses necessárias: taxa de crescimento r constante; recursos ilimitados (sem limite ambiental); população homogênea; sem migração; condições ambientais estáveis; reprodução contínua (sem entraves sazonais ou de idade).

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