Crescimento populacional simples. Suponha
, com
e taxa
(unid./tempo). Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. As informações são:
A pergunta é: encontre
, a função que resolve a equação diferencial e satisfaz a condição inicial.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Partimos de
Como
é, inicialmente,
(positivo), podemos dividir por
sem problema. Fazendo a separação obtemos
Explicação breve e prática: separar variáveis significa escrever todos os termos com
num lado e todos os termos com
no outro, para depois integrar cada lado.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Integramos em respeito a
à esquerda e em respeito a
à direita:
A integral de
é o logaritmo natural; a integral de
em relação a
é
(pois
é constante). Então:
onde
é a constante de integração. Observação: o valor absoluto aparece por definição da integral do
, mas como
nas condições do problema, depois podemos remover o valor absoluto.
Passo 4
Isolamos
exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
Definimos uma constante positiva
. Como
é positivo, temos simplesmente
Curiosidade didática:
representa o valor inicial multiplicativo (quando
,
) e
controla a taxa de crescimento/exponencial.
Passo 5
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na fórmula geral:
Portanto
. Substituindo
e
obtemos a solução explícita:
Passo 6
Checagem rápida: derivando a solução encontramos
ou seja, a equação original
com
é satisfeita. Interpretação: como
, a população cresce exponencialmente;
é a taxa por unidade de tempo.
Passo 7
Dica para prova (prática e rápida): sempre que vir
e uma condição inicial
, decorre imediatamente que
Então aqui, com
e
, basta escrever
. Força aí — você consegue!