Crescimento populacional simples. Suponha P^{\prime}=k P, com P(0)=2000 e taxa k=0,5 (unid./tempo). Encontre P(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial. As informações são:
P' = kP
P(0)=2000
k=0,5
A pergunta é: encontre P(t), a função que resolve a equação diferencial e satisfaz a condição inicial.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis P e t. Partimos de
\frac{dP}{dt}=kP.
Como P é, inicialmente, 2000 (positivo), podemos dividir por P sem problema. Fazendo a separação obtemos
\frac{1}{P}\,dP = k\,dt.
Explicação breve e prática: separar variáveis significa escrever todos os termos com P num lado e todos os termos com t no outro, para depois integrar cada lado.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Integramos em respeito a P à esquerda e em respeito a t à direita:
\int \frac{1}{P}\,dP = \int k\,dt.
A integral de \frac{1}{P} é o logaritmo natural; a integral de k em relação a t é kt (pois k é constante). Então:
\ln|P| = kt + C,
onde C é a constante de integração. Observação: o valor absoluto aparece por definição da integral do 1/P, mas como P>0 nas condições do problema, depois podemos remover o valor absoluto.

Passo 4

Isolamos P exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
|P| = e^{kt + C} = e^{C}e^{kt}.
Definimos uma constante positiva A = e^{C}. Como P é positivo, temos simplesmente
P(t) = A e^{kt}.
Curiosidade didática: A representa o valor inicial multiplicativo (quando t=0, P(0)=A) e k controla a taxa de crescimento/exponencial.

Passo 5

Usamos a condição inicial P(0)=2000 para determinar A. Substituindo t=0 na fórmula geral:
P(0)=A e^{k\cdot 0}=A e^{0}=A.
Portanto A=2000. Substituindo A e k obtemos a solução explícita:
P(t)=2000\,e^{0,5t}.

Passo 6

Checagem rápida: derivando a solução encontramos
P'(t)=2000\cdot 0,5\,e^{0,5t}=0,5\cdot P(t),
ou seja, a equação original P'=kP com k=0,5 é satisfeita. Interpretação: como k>0, a população cresce exponencialmente; 0,5 é a taxa por unidade de tempo.

Passo 7

Dica para prova (prática e rápida): sempre que vir P'=kP e uma condição inicial P(0)=P_0, decorre imediatamente que
P(t)=P_0 e^{kt}.
Então aqui, com P_0=2000 e k=0,5, basta escrever P(t)=2000 e^{0,5t}. Força aí — você consegue!

Resposta

P(t)=2000\,e^{0,5t}

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