Crescimento bacteriano idealizado. B^{\prime}=0,3 B, B(0)=B_{0}. Determine B(t).

Passo 1

O enunciado fornece a taxa de variação da população de bactérias e uma condição inicial. Em palavras: temos que a derivada de B é proporcional ao próprio B com constante de proporcionalidade 0,3, e sabemos o valor de B no tempo t=0. Pergunta: determinar B(t). Dados relevantes:
B'(t)=0,3\,B(t),\qquad B(0)=B_{0}.

Passo 2

Que tipo de problema é esse? É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo proporcional (ou “exponencial”): a taxa de crescimento é uma constante vezes a quantidade. Um método simples e direto é separar variáveis — isto significa escrever todos os termos com B de um lado e todos os termos com t do outro — e integrar. Não vou usar métodos mais complicados porque separação é curto e funciona bem aqui.

Passo 3

Escrevemos a equação de forma a separar variáveis. Partimos de
B'(t)=0,3\,B(t).
Lembrando que B'(t)=\dfrac{dB}{dt}, reescrevemos:
\frac{dB}{dt}=0,3\,B.
Agora isolamos os B de um lado e t do outro:
\frac{1}{B}\,dB=0,3\,dt.
Isto é a separação de variáveis: temos uma diferencial em B à esquerda e em t à direita.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Vou explicar a integral que aparece: \int \dfrac{1}{B}\,dB é a integral conhecida que resulta em \ln|B| (logaritmo natural de |B|). Do outro lado, \int 0,3\,dt é simplesmente 0,3t mais constante. Então:
\int \frac{1}{B}\,dB=\int 0,3\,dt
implica
\ln|B|=0,3t+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora vamos “desfazer” o logaritmo para obter B. Para isso, elevamos e a ambos os lados (exponenciação), lembrando que e^{\ln|B|}=|B|. Assim:
|B|=e^{0,3t+C}=e^{C}e^{0,3t}.
Chamamos e^{C} de K (uma constante positiva), obtendo
|B|=K e^{0,3t}.

Passo 6

Como B(t) representa número de bactérias, faz sentido físico assumir B(t)>0 para todos t consideráveis; portanto podemos retirar as barras de valor absoluto e escrever
B(t)=K e^{0,3t},
com K>0. Aqui K é a constante que será determinada pela condição inicial.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial B(0)=B_{0}. Substituindo t=0 na expressão geral:
B(0)=K e^{0,3\cdot 0}=K e^{0}=K.
Logo K=B_{0}. Isso faz sentido: no tempo zero a exponencial vale 1, então a constante é exatamente o valor inicial.

Passo 8

Substituindo K=B_{0} na solução geral obtemos a solução particular pedida:
B(t)=B_{0} e^{0,3t}.
Para checar rapidamente: derivando essa expressão
\frac{d}{dt}B(t)=B_{0}\cdot 0,3 e^{0,3t}=0,3\,B(t),
portanto satisfaz a equação diferencial, e em t=0 B_{0}, então está tudo consistente.

Passo 9

Interpretação útil (rápida): a constante 0,3 é a taxa de crescimento instantânea (por unidade de tempo). A solução é exponencial; por exemplo, o tempo de duplicação t_{\text{dup}} satisfaz e^{0,3 t_{\text{dup}}}=2, então
t_{\text{dup}}=\frac{\ln 2}{0,3}.
Isso é só para você visualizar: populações que crescem com regra B'=kB sempre evoluem como B(t)=B_0 e^{kt}.

Resposta

\displaystyle B(t)=B_{0}e^{0,3t}

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