Crescimento bacteriano idealizado.
. Determine
.
Passo 1
O enunciado fornece a taxa de variação da população de bactérias e uma condição inicial. Em palavras: temos que a derivada de
é proporcional ao próprio
com constante de proporcionalidade
, e sabemos o valor de
no tempo
. Pergunta: determinar
. Dados relevantes:
Passo 2
Que tipo de problema é esse? É uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, do tipo proporcional (ou “exponencial”): a taxa de crescimento é uma constante vezes a quantidade. Um método simples e direto é separar variáveis — isto significa escrever todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro — e integrar. Não vou usar métodos mais complicados porque separação é curto e funciona bem aqui.
Passo 3
Escrevemos a equação de forma a separar variáveis. Partimos de
Lembrando que
, reescrevemos:
Agora isolamos os
de um lado e
do outro:
Isto é a separação de variáveis: temos uma diferencial em
à esquerda e em
à direita.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Vou explicar a integral que aparece:
é a integral conhecida que resulta em
(logaritmo natural de
). Do outro lado,
é simplesmente
mais constante. Então:
implica
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora vamos “desfazer” o logaritmo para obter
. Para isso, elevamos
a ambos os lados (exponenciação), lembrando que
. Assim:
Chamamos
de
(uma constante positiva), obtendo
Passo 6
Como
representa número de bactérias, faz sentido físico assumir
para todos
consideráveis; portanto podemos retirar as barras de valor absoluto e escrever
com
. Aqui
é a constante que será determinada pela condição inicial.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Logo
. Isso faz sentido: no tempo zero a exponencial vale 1, então a constante é exatamente o valor inicial.
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular pedida:
Para checar rapidamente: derivando essa expressão
portanto satisfaz a equação diferencial, e em
dá
, então está tudo consistente.
Passo 9
Interpretação útil (rápida): a constante
é a taxa de crescimento instantânea (por unidade de tempo). A solução é exponencial; por exemplo, o tempo de duplicação
satisfaz
, então
Isso é só para você visualizar: populações que crescem com regra
sempre evoluem como
.