Resolva:
y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y'=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}.
Informações dadas e observações imediatas:
\;1.; A equação envolve divisão por x e por y, então x\neq0 e y\neq0 nas soluções onde a expressão faz sentido.
\;2.; Queremos a família de soluções y(x) que satisfaça essa relação para x no domínio apropriado.
\;3.; Não há outras condições iniciais fornecidas, então vamos procurar a solução geral com uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Manipulação algébrica do lado direito para ver uma forma mais simples:
\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}=\frac{x^{2}}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}.
Esse formato sugere tentar uma mudança que torne a razão y/x chave na equação. Vamos definir a nova função
v(x)=\frac{y(x)}{x},
ou seja \;y=vx. Vou explicar por que isso é uma boa ideia: quando a função do lado direito depende de y/x (ou combinações simétricas de x e y), esse tipo de substituição frequentemente reduz a equação para uma de variáveis separáveis ou mais simples.

Passo 3

Derivando y=vx em relação a x (produto de funções), usando a regra do produto:
y' = v + x v'.
Agora substituímos y e y' na equação original. Do lado direito já temos a expressão em termos de v:
\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{v x}+ \frac{v x}{x}=\frac{1}{v}+v.
Portanto a equação fica
v + x v' = \frac{1}{v} + v.

Passo 4

Simplificamos a equação anterior: os termos v aparecem dos dois lados e se cancelam:
v + x v' = \frac{1}{v} + v \quad\Longrightarrow\quad x v' = \frac{1}{v}.
Reescrevendo v'=\dfrac{dv}{dx}, obtemos
x\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}.
Agora separamos as variáveis para integrar: multiplicamos ambos os lados por v\,dx e dividimos por x,
v\, dv = \frac{dx}{x}.
Isso é chamado de separação de variáveis: colocamos todo termo com v num lado e todo termo com x no outro, o que permite integrar.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int v\, dv = \int \frac{dx}{x}.
Calcule as integrais (explico cada uma): a integral de v em relação a v é \tfrac{1}{2}v^{2}. A integral de 1/x em relação a x é \ln|x| (o valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo). Então
\frac{1}{2}v^{2}=\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (real arbitrária).

Passo 6

Multiplicamos por 2 e isolamos v^{2}:
v^{2}=2\ln|x| + C_{1},
onde C_{1}=2C é outra constante arbitrária real. Agora tomamos raiz quadrada (lembrando o sinal ±):
v=\pm\sqrt{\,2\ln|x| + C_{1}\, }.
Relembrando que v=y/x, voltamos para y:
y = x v = \pm x\sqrt{\,2\ln|x| + C_{1}\, }.

Passo 7

Comentários sobre domínio e regularidade (importante para a prova):
\;1.; Precisamos de x\neq0 porque \ln|x| e a derivação originais exigem isso.
\;2.; A expressão dentro da raiz deve ser não negativa para valores reais: 2\ln|x|+C_{1}\ge 0.
\;3.; Além disso, na dedução usamos divisão por v em um passo (quando passamos a x v' = 1/v), portanto v\neq0 durante a dedução; isto corresponde a y\neq0. Assim, aceitamos apenas soluções em intervalos onde 2\ln|x|+C_{1}>0 (estritamente >0 evita v=0). Em suma: soluções reais dada pela fórmula acima, definidas nos intervalos de x onde essas condições são atendidas.

Passo 8

Resumo final e forma usual da solução: podemos renomear a constante arbitrária e escrever a família de soluções gerais. Lembre-se de que não há solução constante y=\text{const} admissível porque substituir y= const na equação original não satisfaz (divisão por y e relação não nula).

Resposta

y=\pm x\sqrt{\,2\ln|x|+C\,}, com C\in\mathbb{R} e definido para valores de x tais que x\neq0 e 2\ln|x|+C>0.

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