Resolva:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas e observações imediatas:
; A equação envolve divisão por
e por
, então
e
nas soluções onde a expressão faz sentido.
; Queremos a família de soluções
que satisfaça essa relação para
no domínio apropriado.
; Não há outras condições iniciais fornecidas, então vamos procurar a solução geral com uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Manipulação algébrica do lado direito para ver uma forma mais simples:
Esse formato sugere tentar uma mudança que torne a razão
chave na equação. Vamos definir a nova função
ou seja
. Vou explicar por que isso é uma boa ideia: quando a função do lado direito depende de
(ou combinações simétricas de
e
), esse tipo de substituição frequentemente reduz a equação para uma de variáveis separáveis ou mais simples.
Passo 3
Derivando
em relação a
(produto de funções), usando a regra do produto:
Agora substituímos
e
na equação original. Do lado direito já temos a expressão em termos de
:
Portanto a equação fica
Passo 4
Simplificamos a equação anterior: os termos
aparecem dos dois lados e se cancelam:
Reescrevendo
, obtemos
Agora separamos as variáveis para integrar: multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
,
Isso é chamado de separação de variáveis: colocamos todo termo com
num lado e todo termo com
no outro, o que permite integrar.
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Calcule as integrais (explico cada uma): a integral de
em relação a
é
. A integral de
em relação a
é
(o valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo). Então
onde
é a constante de integração (real arbitrária).
Passo 6
Multiplicamos por
e isolamos
:
onde
é outra constante arbitrária real. Agora tomamos raiz quadrada (lembrando o sinal ±):
Relembrando que
, voltamos para
:
Passo 7
Comentários sobre domínio e regularidade (importante para a prova):
; Precisamos de
porque
e a derivação originais exigem isso.
; A expressão dentro da raiz deve ser não negativa para valores reais:
.
; Além disso, na dedução usamos divisão por
em um passo (quando passamos a
), portanto
durante a dedução; isto corresponde a
. Assim, aceitamos apenas soluções em intervalos onde
(estritamente >0 evita
). Em suma: soluções reais dada pela fórmula acima, definidas nos intervalos de
onde essas condições são atendidas.
Passo 8
Resumo final e forma usual da solução: podemos renomear a constante arbitrária e escrever a família de soluções gerais. Lembre-se de que não há solução constante
admissível porque substituir
const na equação original não satisfaz (divisão por
e relação não nula).