Refrigeração forçada. Temperatura Y satisfaz Y^{\prime}=-\alpha(Y-\Theta) \operatorname{com} \Theta constante, Y(0)=Y_{0}. Obtenha Y(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
Y' = -\alpha (Y - \Theta),\qquad \Theta \text{ constante},\qquad Y(0)=Y_{0}.
O que se pede: determinar a função Y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.
Dados importantes listados:
  • \alpha é uma constante (presumo \alpha>0 por interpretação física, mas a solução vale para qualquer \alpha).
  • \Theta é constante (temperatura ambiente).
  • Condição inicial Y(0)=Y_{0}.

Passo 2

Reescrevemos a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Expandindo:
Y' = -\alpha Y + \alpha \Theta.
Colocando todos os termos na forma Y' + p(t)Y = q(t) obtemos
Y' + \alpha Y = \alpha \Theta.

Passo 3

Apresento o método do fator integrante (integrating factor), que resolve equações da forma Y' + p(t)Y = q(t). O fator integrante é
\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt}.
Multiplicando a equação por \mu(t) a esquerda vira a derivada de \mu(t)Y(t). Aqui p(t)=\alpha (constante), então
\mu(t) = e^{\int \alpha\,dt} = e^{\alpha t}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(t)=e^{\alpha t}:
e^{\alpha t}Y' + \alpha e^{\alpha t}Y = \alpha \Theta e^{\alpha t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \frac{d}{dt}\big(e^{\alpha t}Y\big). Logo
\frac{d}{dt}\big(e^{\alpha t}Y\big) = \alpha \Theta e^{\alpha t}.

Passo 5

Integrando ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\big(e^{\alpha t}Y\big)\,dt = \int \alpha \Theta e^{\alpha t}\,dt.
A integral do lado esquerdo dá e^{\alpha t}Y. No lado direito, \alpha \Theta é constante, então
\int \alpha \Theta e^{\alpha t}\,dt = \alpha \Theta \cdot \frac{1}{\alpha} e^{\alpha t} + C = \Theta e^{\alpha t} + C,
onde C é constante de integração. Portanto
e^{\alpha t}Y = \Theta e^{\alpha t} + C.

Passo 6

Isolando Y dividindo por e^{\alpha t}:
Y(t) = \Theta + C e^{-\alpha t},
onde C é uma constante arbitrária a determinar pela condição inicial. Esse é o formato geral da solução: uma parte constante \Theta (equilíbrio) mais uma exponencial que decai.

Passo 7

Usamos a condição inicial Y(0)=Y_{0}. Substituindo t=0 na expressão geral:
Y(0)=\Theta + C e^{0} = \Theta + C = Y_{0}.
Assim a constante é
C = Y_{0} - \Theta.
(Interpretação: C é a diferença inicial entre a temperatura inicial Y_{0} e a temperatura ambiente \Theta.)

Passo 8

Verificação rápida (sem escrever a forma final substituída ainda): se Y(t)=\Theta + C e^{-\alpha t} então Y'(t) = -\alpha C e^{-\alpha t} e Y(t)-\Theta = C e^{-\alpha t}, logo
Y' = -\alpha (Y-\Theta),
o que confirma que a forma geral está correta. Fisicamente, a solução descreve relaxamento exponencial de Y(t) para \Theta com constante de tempo 1/\alpha: a diferença Y(t)-\Theta decai como e^{-\alpha t}.

Resposta

Y(t)=\Theta+(Y_{0}-\Theta)e^{-\alpha t}

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