Refrigeração forçada. Temperatura
satisfaz
constante,
. Obtenha
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede: determinar a função
que satisfaz a equação e a condição inicial.
Dados importantes listados:
Dados importantes listados:
-
é uma constante (presumo por interpretação física, mas a solução vale para qualquer ). -
é constante (temperatura ambiente). - Condição inicial
.
Passo 2
Reescrevemos a equação numa forma padrão de equação linear de primeira ordem. Expandindo:
Colocando todos os termos na forma
obtemos
Passo 3
Apresento o método do fator integrante (integrating factor), que resolve equações da forma
. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
a esquerda vira a derivada de
. Aqui
(constante), então
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Logo
Passo 5
Integrando ambos os lados em
:
A integral do lado esquerdo dá
. No lado direito,
é constante, então
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
Isolando
dividindo por
:
onde
é uma constante arbitrária a determinar pela condição inicial. Esse é o formato geral da solução: uma parte constante
(equilíbrio) mais uma exponencial que decai.
Passo 7
Usamos a condição inicial
. Substituindo
na expressão geral:
Assim a constante é
(Interpretação:
é a diferença inicial entre a temperatura inicial
e a temperatura ambiente
.)
Passo 8
Verificação rápida (sem escrever a forma final substituída ainda): se
então
e
, logo
o que confirma que a forma geral está correta. Fisicamente, a solução descreve relaxamento exponencial de
para
com constante de tempo
: a diferença
decai como
.