Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses dois números é a menor possível?

Passo 1

O enunciado diz que há galinhas (2 pés cada) e coelhos (4 pés cada) num criadouro, e o total de pés contado foi 400. Precisamos determinar o número de galinhas G e de coelhos R de modo que a diferença |G-R| seja a menor possível. Matéria: equações diofantinas lineares e otimização discreta.

Passo 2

Representando por G o número de galinhas e por R o número de coelhos, a soma dos pés obedece à equação
2G + 4R = 400

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 2, simplificamos para
G + 2R = 200
e isolamos G:
G = 200 - 2R
Como G e R são inteiros não negativos, temos 0 <= R <= 100.

Passo 4

Queremos minimizar a diferença
|G - R| = |(200 - 2R) - R| = |200 - 3R|
Portanto, basta escolher R em 0,1,2,dots,100 que torne 200 - 3R o mais próximo possível de zero.

Passo 5

A solução real ideal seria R = tfrac2003 approx 66,67. Testamos os inteiros vizinhos:
Para R = 66,
|200 - 3cdot 66| = |200 - 198| = 2
Para R = 67,
|200 - 3cdot 67| = |200 - 201| = 1
O valor mínimo de |200 - 3R| ocorre em R = 67.

Passo 6

Com R = 67, obtemos
G = 200 - 2cdot 67 = 66
Conferindo a diferença, temos
|G - R| = |66 - 67| = 1
que é a menor possível.

Resposta

Número de galinhas: 66
Número de coelhos: 67

Exercícios relacionados