Resolva as equações:
16 x+7 y=601;

Passo 1

Temos a equação linear
16x + 7y = 601
e queremos suas soluções inteiras. Este é um problema de equação diofantina de 1º grau, em que precisamos usar o cálculo do gcd e encontrar uma solução particular para depois escrever a solução geral.

Passo 2

Calculemos gcd(16,7). Como 16 e 7 são primos entre si,
gcd(16,7) = 1,
e como 1 divide 601, a equação admite solução inteira.

Passo 3

Para achar uma solução particular, reduzimos a congruência módulo 16:
16x + 7y equiv 601 pmod16 Longrightarrow 7y equiv 601 pmod16
Como 601 mod 16 = 9, fica
7y equiv 9 pmod16
O inverso de 7 módulo 16 é 7, pois 7cdot7=49equiv1pmod16. Logo
y equiv 7cdot9 = 63 equiv 15 pmod16
Escolhendo y0 = 15, obtemos
x0 = 601 - 7cdot1516 = 601 - 10516 = 49616 = 31
Assim, (x0,y0)=(31,15) é uma solução particular.

Passo 4

A solução geral da equação diofantina
16x + 7y = 601
é dada por
x = x0 - 7gcd(16,7),k , y = y0 + 16gcd(16,7),k,
com kinZ. Como gcd(16,7)=1, temos
x = 31 - 7k, y = 15 + 16k, kinZ

Resposta

x = 31 - 7k, y = 15 + 16k, kinZ

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