Questão 0.1. Dê equações paramétricas do plano que possui representante dos vetores e passa pelo ponto . Encontre um vetor normal ao plano . (VALOR=2.5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O enunciado pede para a gente encontrar as equações paramétricas de um plano que tem como representativos os vetores e , e que passa pelo ponto . Além disso, precisamos encontrar um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos precisar entender como construir as equações paramétricas de um plano e como determinar um vetor normal a partir dos vetores que fazem parte do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um plano pode ser definido por um ponto e dois vetores que estão dentro desse plano. No nosso caso, o ponto é [Q = (0,1,-2)) e os vetores são e . As equações paramétricas de um plano são dadas por:
Onde , e e são parâmetros que variam livremente.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. O ponto Q tem coordenadas (0,1,-2), o vetor u tem componentes (1,2,-1) e o vetor v tem componentes (1,0,0). Substituindo na equação paramétrica, ficamos com:
x = 0 + s cdot 1 + t cdot 1 y = 1 + s cdot 2 + t cdot 0 z = -2 + s cdot (-1) + t cdot 0
Passo 4
Simplificando as equações, temos:
x = s + t y = 1 + 2s z = -2 - s
Então, essas são as equações paramétricas do plano pi.
Passo 5
Agora, para encontrar um vetor normal ao plano pi, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular tanto a u quanto a v. Uma maneira de fazer isso é calculando o produto vetorial entre u e v.
O produto vetorial de dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz) é dado por:
a times b = (ay bz - az by, , az bx - ax bz, , ax by - ay bx)
Passo 6
Aplicando isso aos nossos vetores u = (1,2,-1) e v = (1,0,0):