Questão 0.1. Dê equações paramétricas do plano pi que possui representante dos vetores u=(1,2,-1) e v=(1,0,0) e passa pelo ponto Q=(0,1,-2). Encontre um vetor normal ao plano pi. (VALOR=2.5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O enunciado pede para a gente encontrar as equações paramétricas de um plano que tem como representativos os vetores u = (1,2,-1) e v = (1,0,0), e que passa pelo ponto Q = (0,1,-2). Além disso, precisamos encontrar um vetor normal a esse plano. Para isso, vamos precisar entender como construir as equações paramétricas de um plano e como determinar um vetor normal a partir dos vetores que fazem parte do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano pode ser definido por um ponto e dois vetores que estão dentro desse plano. No nosso caso, o ponto é [Q = (0,1,-2)) e os vetores são e . As equações paramétricas de um plano são dadas por:
Onde , e e são parâmetros que variam livremente.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. O ponto Q tem coordenadas (0,1,-2), o vetor u tem componentes (1,2,-1) e o vetor v tem componentes (1,0,0). Substituindo na equação paramétrica, ficamos com:
x = 0 + s cdot 1 + t cdot 1 y = 1 + s cdot 2 + t cdot 0 z = -2 + s cdot (-1) + t cdot 0

Passo 4

Simplificando as equações, temos:
x = s + t y = 1 + 2s z = -2 - s
Então, essas são as equações paramétricas do plano pi.

Passo 5

Agora, para encontrar um vetor normal ao plano pi, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular tanto a u quanto a v. Uma maneira de fazer isso é calculando o produto vetorial entre u e v.
O produto vetorial de dois vetores a = (ax, ay, az) e b = (bx, by, bz) é dado por:
a times b = (ay bz - az by, , az bx - ax bz, , ax by - ay bx)

Passo 6

Aplicando isso aos nossos vetores u = (1,2,-1) e v = (1,0,0):
u times v = (2 cdot 0 - (-1) cdot 0, , (-1) cdot 1 - 1 cdot 0, , 1 cdot 0 - 2 cdot 1) = (0, -1, -2)
Portanto, o vetor normal ao plano é n = (0, -1, -2).

Resposta

As equações paramétricas do plano [\pi) são:
E um vetor normal ao plano .

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