Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau. Subindo a mesma escada de três em três degraus, sobram dois degraus. Determine quantos degraus possui a escada, sabendo que o seu número é múltiplo de 7 e está compreendido entre 40 e 100 .

Passo 1

O enunciado pede o número de degraus N de uma escada tal que, ao subir de dois em dois, sobra um degrau, e ao subir de três em três, sobram dois degraus. Além disso, N é múltiplo de 7 e 40 <= N <= 100. Vamos traduzir isso em congruências e usar o Teorema Chinês dos Restos para resolver.

Passo 2

A condição “subindo de dois em dois, sobra um” significa
N equiv 1 pmod2
e “subindo de três em três, sobram dois” significa
N equiv 2 pmod3
Para juntar essas duas, observamos os resíduos ímpares módulo 6 (pois mcm(2,3)=6): os ímpares em 0,1,2,3,4,5 são 1, 3 e 5, e apenas
5 equiv 2 pmod3
satisfaz ambas. Logo
N equiv 5 pmod6

Passo 3

Agora unimos
N equiv 5 pmod6 e N equiv 0 pmod7
Escrevendo N=6k+5, exigimos
6k+5equiv 0pmod7 ;Longrightarrow; 6kequiv -5equiv 2pmod7
Como 6^-1equiv 6pmod7, Multiplicamos ambos os lados por 6 e obtemos
kequiv 6cdot2equiv12equiv5pmod7,
ou seja k=7t+5. Substituindo em N:
N=6(7t+5)+5=42t+35

Passo 4

Fica então
N=42t+35
Procuramos t inteiro que faça 40<= N<=100. Para t=0 N=35 (menor que 40) e para t=1
N=42cdot1+35=77,
que está no intervalo. Para t=2 teríamos 119>100. Logo o único valor possível é 77.

Resposta

77
A escada tem 77 degraus.

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