Subindo uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau. Subindo a mesma escada de três em três degraus, sobram dois degraus. Determine quantos degraus possui a escada, sabendo que o seu número é múltiplo de 7 e está compreendido entre 40 e 100 .
Passo 1
O enunciado pede o número de degraus
de uma escada tal que, ao subir de dois em dois, sobra um degrau, e ao subir de três em três, sobram dois degraus. Além disso,
é múltiplo de 7 e
. Vamos traduzir isso em congruências e usar o Teorema Chinês dos Restos para resolver.
Passo 2
A condição “subindo de dois em dois, sobra um” significa
e “subindo de três em três, sobram dois” significa
Para juntar essas duas, observamos os resíduos ímpares módulo 6 (pois
): os ímpares em
são 1, 3 e 5, e apenas
satisfaz ambas. Logo
Passo 3
Agora unimos
Escrevendo
, exigimos
Como
, Multiplicamos ambos os lados por 6 e obtemos
ou seja
. Substituindo em
:
Passo 4
Fica então
Procuramos
inteiro que faça
. Para
dá
(menor que 40) e para
dá
que está no intervalo. Para
teríamos
. Logo o único valor possível é
.
Resposta
A escada tem 77 degraus.