Um criador possui 5000 cabeças de vaca leiteira. Sabendo-se que cada vaca produz em média 3 litros por dia, obedecendo a uma distribuição normal, com desvio padrão de 0,5 litro, calcular a probabilidade de produzir, diariamente:
(b) entre 14.910 e 14.960 litros.

Passo 1

O enunciado diz que temos 5000 vacas independentes, cada uma produzindo uma quantidade diária de leite que segue uma distribuição normal com média \mu=3 litros e desvio padrão \sigma=0,5 litro. Queremos a probabilidade de a produção total diária, que é a soma dessas 5000 variáveis, ficar entre 14910 e 14960 litros. O conteúdo envolvido é soma de variáveis normais e padronização.

Passo 2

Como a soma de variáveis normais independentes também é normal, a produção total
X = \sum_{i=1}^{5000} X_i
é normal com
\E[X] = 5000 \times \mu = 5000 \times 3 = 15000,
\Var(X) = 5000 \times \sigma^2 = 5000 \times (0,5)^2 = 1250,
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X \sim N\bigl(15000,\;1250\bigr),
e o desvio padrão de X é
\sqrt{1250}\approx35,355.

Passo 3

Para calcular
P(14910 \le X \le 14960)
fazemos a padronização
Z = \frac{X - 15000}{\sqrt{1250}},
de modo que
P(14910 \le X \le 14960) = P\Bigl(\frac{14910-15000}{35,355} \le Z \le \frac{14960-15000}{35,355}\Bigr).
Calculando os valores de Z:
z_1 = \frac{14910 - 15000}{35,355}\approx -2,545,
z_2 = \frac{14960 - 15000}{35,355}\approx -1,131.

Passo 4

Usando a tabela da normal padrão,
\Phi(-1,131) = 1 - \Phi(1,131)\approx 1 - 0,8719 = 0,1281,
\Phi(-2,545) = 1 - \Phi(2,545)\approx 1 - 0,9945 = 0,0055.
Então
P(-2,545 \le Z \le -1,131) = \Phi(-1,131) - \Phi(-2,545) \approx 0,1281 - 0,0055 = 0,1226.

Resposta

A probabilidade desejada é aproximadamente 0,123 (ou 12{,}3\%).

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