Uma criança de
está em um balanço preso a cordas que têm
de comprimento. Considere que o zero de energia potencial gravitacional esteja na posição da criança quando as cordas estão na vertical.
(A) Determine a energia potencial gravitacional da criança no ponto mais baixo da trajetória circular.
(B) Determine a energia potencial gravitacional da criança quando as cordas fizerem
em relação a horizontal?
(C) Com base nesses resultados, qual posição tem maior energia potencial?
(A) Determine a energia potencial gravitacional da criança no ponto mais baixo da trajetória circular.
(B) Determine a energia potencial gravitacional da criança quando as cordas fizerem
(C) Com base nesses resultados, qual posição tem maior energia potencial?
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (A) a energia potencial gravitacional da criança no ponto mais baixo da trajetória circular; (B) a energia potencial gravitacional da criança quando as cordas fizerem
em relação à horizontal; (C) comparar as posições e dizer qual tem maior energia potencial.
Informações dadas:
- massa da criança:
. - comprimento das cordas:
. - o zero da energia potencial gravitacional é tomado na posição da criança quando as cordas estão na vertical.
- ângulo pedido em (B): as cordas fazem
em relação à horizontal. (Observação geométrica: o ângulo entre a corda e a vertical é .)
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula fundamental que usamos aqui: a energia potencial gravitacional relativa a uma referência é dada por
onde:
-
é a energia potencial gravitacional (em joules), -
é a massa (em quilogramas), -
é a aceleração da gravidade (em metros por segundo ao quadrado). Vamos usar , -
é a altura vertical do objeto em relação ao nível onde tomamos (em metros).
Explicação intuitiva:
é o “peso” e multiplicando por
obtemos o trabalho necessário para subir verticalmente essa altura, que é a energia potencial gravitacional.
Passo 3
Responder (A). O enunciado fixou o zero da energia potencial exatamente na posição com as cordas na vertical (essa é a referência). Portanto, no ponto mais baixo da trajetória (cordas verticais) a altura relativa à referência é
. Aplicando a fórmula:
Logo, a energia potencial no ponto mais baixo é
.
Passo 4
Preparação para (B): calcular a altura
do ponto em que a corda forma
com a vertical (vejamos a geometria). Considere a ponta do balanço descrevendo um arco de círculo de raio
. Quando a corda está vertical, a posição mais baixa tem coordenada vertical (referência). Quando a corda faz ângulo
com a vertical, a coordenada vertical da criança subiu uma distância igual à diferença entre o raio
e a projeção vertical da corda, que é
. Assim:
Aqui
é o ângulo entre a corda e a vertical. Conforme observado no Passo 1, a corda fazendo
em relação à horizontal implica
.
Passo 5
Calcular numericamente
e depois
para o caso (B).
Primeiro
:
Sabemos que
. Então
Agora a energia potencial:
Calcule por partes:
. Então
(Arredondei para uma casa decimal compatível com os dados dados.)
Passo 6
Responder (C) comparando os resultados: em (A) obtivemos
e em (B) obtivemos
. A energia potencial é maior na posição em que a criança está mais alta, ou seja, quando as cordas formam
com a horizontal. Intuição prática: subir no balanço aumenta a altura, e maior altura = maior energia potencial gravitacional.
Resposta
(A)
(B)
(C) A posição com as cordas a em relação à horizontal tem maior energia potencial.
(B)
(C) A posição com as cordas a