Uma criança de 20 K g está em um balanço preso a cordas que têm L=1,5 m de comprimento. Considere que o zero de energia potencial gravitacional esteja na posição da criança quando as cordas estão na vertical.
(A) Determine a energia potencial gravitacional da criança no ponto mais baixo da trajetória circular.
(B) Determine a energia potencial gravitacional da criança quando as cordas fizerem 45^{\circ} em relação a horizontal?
(C) Com base nesses resultados, qual posição tem maior energia potencial?

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (A) a energia potencial gravitacional da criança no ponto mais baixo da trajetória circular; (B) a energia potencial gravitacional da criança quando as cordas fizerem 45^\circ em relação à horizontal; (C) comparar as posições e dizer qual tem maior energia potencial.
Informações dadas:
  • massa da criança: m=20\\ \mathrm{kg}.
  • comprimento das cordas: L=1,5\\ \mathrm{m}.
  • o zero da energia potencial gravitacional é tomado na posição da criança quando as cordas estão na vertical.
  • ângulo pedido em (B): as cordas fazem 45^\circ em relação à horizontal. (Observação geométrica: o ângulo entre a corda e a vertical é \theta=90^\circ-45^\circ=45^\circ.)

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula fundamental que usamos aqui: a energia potencial gravitacional relativa a uma referência é dada por
U = m g h,
onde:
  • U é a energia potencial gravitacional (em joules),
  • m é a massa (em quilogramas),
  • g é a aceleração da gravidade (em metros por segundo ao quadrado). Vamos usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • h é a altura vertical do objeto em relação ao nível onde tomamos U=0 (em metros).
Explicação intuitiva: m g é o “peso” e multiplicando por h obtemos o trabalho necessário para subir verticalmente essa altura, que é a energia potencial gravitacional.

Passo 3

Responder (A). O enunciado fixou o zero da energia potencial exatamente na posição com as cordas na vertical (essa é a referência). Portanto, no ponto mais baixo da trajetória (cordas verticais) a altura relativa à referência é h=0. Aplicando a fórmula:
U = m g h = m g \cdot 0 = 0.
Logo, a energia potencial no ponto mais baixo é 0.

Passo 4

Preparação para (B): calcular a altura h do ponto em que a corda forma \theta=45^\circ com a vertical (vejamos a geometria). Considere a ponta do balanço descrevendo um arco de círculo de raio L. Quando a corda está vertical, a posição mais baixa tem coordenada vertical (referência). Quando a corda faz ângulo \theta com a vertical, a coordenada vertical da criança subiu uma distância igual à diferença entre o raio L e a projeção vertical da corda, que é L\cos\theta. Assim:
h = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta).
Aqui \theta é o ângulo entre a corda e a vertical. Conforme observado no Passo 1, a corda fazendo 45^\circ em relação à horizontal implica \theta=45^\circ.

Passo 5

Calcular numericamente h e depois U para o caso (B).
Primeiro h:
h = L(1-\cos\theta) = 1,5\left(1-\cos 45^\circ\right).
Sabemos que \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,70710678. Então
h = 1,5\left(1-0,70710678\right)=1,5\cdot 0,29289322\approx 0,43933983\\ \mathrm{m}.
Agora a energia potencial:
U = m g h = 20\cdot 9,8 \cdot 0,43933983.
Calcule por partes: 20\cdot 9,8 = 196. Então
U = 196\cdot 0,43933983 \approx 86,1\\ \mathrm{J}.
(Arredondei para uma casa decimal compatível com os dados dados.)

Passo 6

Responder (C) comparando os resultados: em (A) obtivemos U=0 e em (B) obtivemos U\approx 86,1\\ \mathrm{J}. A energia potencial é maior na posição em que a criança está mais alta, ou seja, quando as cordas formam 45^\circ com a horizontal. Intuição prática: subir no balanço aumenta a altura, e maior altura = maior energia potencial gravitacional.

Resposta

(A) U=0\\ \mathrm{J}
(B) U\approx 86,1\\ \mathrm{J}
(C) A posição com as cordas a 45^\circ em relação à horizontal tem maior energia potencial.

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