Dois carros estão em movimento. O primeiro carro tem duas vezes a massa do segundo carro, mas apenas metade da energia cinética. Quando os dois carros aumentam sua velocidade em 5 m / s, então eles têm a mesma energia cinética. Calcule as velocidades iniciais dos carros.

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos \n
  • Queremos calcular as velocidades iniciais dos dois carros: v_1 (do primeiro carro) e v_2 (do segundo carro). \n
  • Informações dadas: \n
    • A massa do primeiro carro é o dobro da massa do segundo: m_1 = 2m_2. \n
    • O primeiro carro tem metade da energia cinética do segundo (no estado inicial): \text{KE}_1 = \tfrac{1}{2}\text{KE}_2. \n
    • Após aumentar a velocidade de cada carro em 5\\ \mathrm{m/s}, as energias cinéticas ficam iguais: \text{KE}_1' = \text{KE}_2'. \n
  • Variáveis que vamos usar: \n
    • m_1,\\ m_2 para as massas; \n
    • v_1,\\ v_2 para as velocidades iniciais; \n
    • o incremento de velocidade é 5\\ \mathrm{m/s}. \n

Passo 2

Fórmula da energia cinética e expressão das energias iniciais \n
  • Lembrete (fórmula): a energia cinética de um corpo de massa m que se move com velocidade v é dada por
\text{KE}=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui m é a massa em kg e v a velocidade em \mathrm{m/s}. A unidade resultante será joule, mas não precisamos calcular unidades numéricas aqui, só relações algébricas. \n
  • Aplicando isso aos dois carros (estado inicial):
\text{KE}_1=\tfrac{1}{2} m_1 v_1^{2},\qquad \text{KE}_2=\tfrac{1}{2} m_2 v_2^{2}.

Passo 3

Usar a condição " \text{KE}_1 é metade de \text{KE}_2" para relacionar v_1 e v_2 \n
  • A condição é
\text{KE}_1=\tfrac{1}{2}\text{KE}_2.
  • Substituindo as expressões:
\tfrac{1}{2} m_1 v_1^{2}=\tfrac{1}{2}\!\left(\tfrac{1}{2} m_2 v_2^{2}\right).
  • Simplificando: o fator \tfrac{1}{2} no lado esquerdo e no lado direito pode ser manipulado; multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar frações temos
2 m_1 v_1^{2}=m_2 v_2^{2}.
  • Agora usamo a relação entre massas m_1=2m_2. Substituindo:
2(2m_2) v_1^{2}=m_2 v_2^{2}.
  • Cancelamos m_2 (assumindo massas positivas, m_2\neq0):
4 v_1^{2}=v_2^{2}.
  • Tirando raiz (considerando que velocidades aqui são módulos/rapidez, portanto positivas):
v_2=2 v_1.
(ou a raiz negativa v_2=-2v_1 surge matematicamente, mas como o enunciado fala em velocidades em movimento e normalmente pede módulos, usamos a solução positiva.)

Passo 4

Escrever a condição após o aumento de 5\\ \mathrm{m/s} e montar a equação para v_1 \n
  • Depois do aumento, as velocidades ficam v_1+5 e v_2+5. A igualdade das energias cinéticas é
\tfrac{1}{2} m_1 (v_1+5)^{2}=\tfrac{1}{2} m_2 (v_2+5)^{2}.
  • Podemos simplificar multiplicando os dois lados por 2:
m_1 (v_1+5)^{2}=m_2 (v_2+5)^{2}.
  • Substituímos m_1=2m_2 e v_2=2v_1:
2m_2 (v_1+5)^{2}=m_2 (2v_1+5)^{2}.
  • Cancelamos m_2:
2 (v_1+5)^{2}=(2v_1+5)^{2}.
  • Agora expandimos os quadrados passo a passo:
2\big(v_1^{2}+10v_1+25\big)=4v_1^{2}+20v_1+25.
  • Multiplicando o parêntese do lado esquerdo:
2v_1^{2}+20v_1+50=4v_1^{2}+20v_1+25.
  • Subtraindo 2v_1^{2}+20v_1+50 dos dois lados para reunir termos:
0=2v_1^{2}-25.
  • Assim
2v_1^{2}=25\quad\Rightarrow\quad v_1^{2}=\tfrac{25}{2}.

Passo 5

Determinar v_1 e v_2 e interpretar o sinal \n
  • Tirando raiz quadrada e escolhendo a solução positiva (velocidade positiva):
v_1=\sqrt{\tfrac{25}{2}}=\tfrac{5}{\sqrt{2}}=\tfrac{5\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m/s}.
  • Usando v_2=2v_1:
v_2=2\cdot \tfrac{5\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}.
  • Para dar uma ideia numérica (opcional): \tfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx 3,5355\\ \mathrm{m/s} e 5\sqrt{2}\approx 7,0711\\ \mathrm{m/s}. \n
    Força final: essas são as velocidades iniciais que satisfazem as duas condições do enunciado. Você conseguiu — metade da energia x dobro da massa levou à relação simples v_2=2v_1, e aí só sobrou resolver uma equação quadrática simples.

Resposta

v_1=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 3,5355\\ \mathrm{m/s} \n
v_2=5\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s}\approx 7,0711\\ \mathrm{m/s}

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