Dois carros estão em movimento. O primeiro carro tem duas vezes a massa do segundo carro, mas apenas metade da energia cinética. Quando os dois carros aumentam sua velocidade em
, então eles têm a mesma energia cinética. Calcule as velocidades iniciais dos carros.
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos \n
- Queremos calcular as velocidades iniciais dos dois carros:
(do primeiro carro) e (do segundo carro). \n - Informações dadas: \n
- A massa do primeiro carro é o dobro da massa do segundo:
. \n - O primeiro carro tem metade da energia cinética do segundo (no estado inicial):
. \n - Após aumentar a velocidade de cada carro em
, as energias cinéticas ficam iguais: . \n
- A massa do primeiro carro é o dobro da massa do segundo:
- Variáveis que vamos usar: \n
-
para as massas; \n -
para as velocidades iniciais; \n - o incremento de velocidade é
. \n
-
Passo 2
Fórmula da energia cinética e expressão das energias iniciais \n
- Lembrete (fórmula): a energia cinética de um corpo de massa
que se move com velocidade é dada por
Aqui
é a massa em kg e
a velocidade em
. A unidade resultante será joule, mas não precisamos calcular unidades numéricas aqui, só relações algébricas. \n
- Aplicando isso aos dois carros (estado inicial):
Passo 3
Usar a condição "
é metade de
" para relacionar
e
\n
- A condição é
- Substituindo as expressões:
- Simplificando: o fator
no lado esquerdo e no lado direito pode ser manipulado; multiplicando ambos os lados por para eliminar frações temos
- Agora usamo a relação entre massas
. Substituindo:
- Cancelamos
(assumindo massas positivas, ):
- Tirando raiz (considerando que velocidades aqui são módulos/rapidez, portanto positivas):
(ou a raiz negativa
surge matematicamente, mas como o enunciado fala em velocidades em movimento e normalmente pede módulos, usamos a solução positiva.)
Passo 4
Escrever a condição após o aumento de
e montar a equação para
\n
- Depois do aumento, as velocidades ficam
e . A igualdade das energias cinéticas é
- Podemos simplificar multiplicando os dois lados por
:
- Substituímos
e :
- Cancelamos
:
- Agora expandimos os quadrados passo a passo:
- Multiplicando o parêntese do lado esquerdo:
- Subtraindo
dos dois lados para reunir termos:
- Assim
Passo 5
Determinar
e
e interpretar o sinal \n
- Tirando raiz quadrada e escolhendo a solução positiva (velocidade positiva):
- Usando
:
- Para dar uma ideia numérica (opcional):
e . \n
Força final: essas são as velocidades iniciais que satisfazem as duas condições do enunciado. Você conseguiu — metade da energia x dobro da massa levou à relação simples, e aí só sobrou resolver uma equação quadrática simples.