Questão 2 2,5 pontos Nota:

Um oscilador harmônico amortecido é formado por um bloco ( \mathbf{m} \boldsymbol{=} \mathbf{2 , 0 0 ~ k g} ), uma mola (\mathbf{k}=\mathbf{8 , 0 ~ N} / \mathbf{m}) e uma força de amortecimento ( \mathbf{F}=-\mathbf{b v} ). Inicialmente, o bloco oscila com uma amplitude de \mathbf{3 0 , 0 c m}; devido ao amortecimento, a amplitude cai a três quintos do valor inicial após três oscilações completas. Qual é o valor de b?(Exponha as equações eo resultado final).

Passo 1

O enunciado nos dá um oscilador harmônico amortecido com massa m=2{,}00\:\mathrm{kg}, constante elástica k=8{,}0\:\mathrm{N/m} e força de amortecimento F=-b\,v. A amplitude inicial é A_{0}=30{,}0\:\mathrm{cm} e, após três oscilações completas, ela cai para \tfrac{3}{5}A_{0}. Precisamos encontrar o coeficiente de amortecimento b. Para isso usaremos que, no regime subamortecido, a amplitude obedece
A(t)=A_{0}e^{-\gamma t},
onde \gamma=b/(2m), e que o período aproximado do oscilador fraco é
T\approx\frac{2\pi}{\omega_{0}},\quad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 2

Após 3 oscilações completas o tempo decorrido é
t=3T\approx3\;\frac{2\pi}{\omega_{0}}.
Nesse instante a razão das amplitudes é
\frac{A(t)}{A_{0}}=e^{-\gamma t}=\frac{3}{5}.
Tomando logaritmo natural,
-\gamma\,t=\ln\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \gamma=-\frac{1}{t}\ln\!\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr) =\frac{1}{3T}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 3

Substituindo T=2\pi/\omega_{0} no valor de \gamma, fica
\gamma =\frac{1}{3\,(2\pi/\omega_{0})}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) =\frac{\omega_{0}}{6\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 4

Como \gamma=b/(2m), temos
b=2m\,\gamma =2m\;\frac{\omega_{0}}{6\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) =\frac{m\,\omega_{0}}{3\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr).

Passo 5

Numericamente,
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{8{,}0}{2{,}00}}=2{,}0\:\mathrm{rad/s},
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b =\frac{2{,}00\cdot2{,}0}{3\pi}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr) =\frac{4}{3\pi}\,0{,}5108\approx0{,}217\:\mathrm{kg/s}.

Resposta

b\approx0{,}22\:\mathrm{kg/s}.

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