Uma criança de
está sentada em um balanço idealizado como um pêndulo simples de comprimento
, inicialmente em repouso. O sistema tem fator de amortecimento
. Um adulto lança uma bola de massa
com velocidade horizontal de
. A bola adere à criança após o impacto. Considere que o primeiro impacto ocorre quando a criança está na posição vertical (em repouso) e que a corda do pêndulo permanece sempre tensionada.
A criança começa a oscilar. No instante em que ela atinge a máxima amplitude angular da primeira oscilação, uma segunda bola, também de massa
, é lançada horizontalmente com velocidade de
e colide novamente com o conjunto criança + bola. Esse segundo impacto também é perfeitamente inelástico.
Sabendo que as massas das bolas e da criança permanecem unidas após os impactos e os ângulos de oscilação são pequenos (use aproximações lineares).
\end{abstract}
Pergunta:
(a) Determine a velocidade angular da criança imediatamente após o primeiro impacto.
(b) Determine a velocidade angular da criança imediatamente após o segundo impacto, que ocorre no instante de máxima amplitude angular da oscilação.
(c) Calcule a altura máxima e o instante em que a criança atinge.
A criança começa a oscilar. No instante em que ela atinge a máxima amplitude angular da primeira oscilação, uma segunda bola, também de massa
\end{abstract}
(b) Determine a velocidade angular da criança imediatamente após o segundo impacto, que ocorre no instante de máxima amplitude angular da oscilação.
(c) Calcule a altura máxima e o instante em que a criança atinge.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Massa da criança:
. - Comprimento do pêndulo:
. - Amortecimento (razão de amortecimento):
. - Primeira bola: massa
, velocidade horizontal . - Segunda bola: massa
, velocidade horizontal . - As colisões são perfeitamente inelásticas (a bola adere à criança).
- O primeiro impacto ocorre com a criança na posição vertical e em repouso.
- O segundo impacto ocorre no instante de máxima amplitude angular da primeira oscilação.
- Ângulos pequenos (aproximações lineares válidas).
Pede-se:
(a) velocidade angular imediatamente após o primeiro impacto;
(b) velocidade angular imediatamente após o segundo impacto (impacto no instante de máxima amplitude);
(c) altura máxima alcançada e o instante em que a criança atinge essa altura (interpreto que é a altura máxima atingida depois do segundo impacto e o instante absoluto desde o primeiro impacto).
(a) velocidade angular imediatamente após o primeiro impacto;
(b) velocidade angular imediatamente após o segundo impacto (impacto no instante de máxima amplitude);
(c) altura máxima alcançada e o instante em que a criança atinge essa altura (interpreto que é a altura máxima atingida depois do segundo impacto e o instante absoluto desde o primeiro impacto).
Passo 2
Conservação do momento angular no impacto instantâneo (primeiro impacto).
Explicação didática do conceito que vou usar:
- Num impacto muito rápido sobre um pêndulo preso por um pivot ideal, o impulso do pivot atua no ponto de apoio; durante o tempo de impacto podemos desprezar o torque externo em relação ao pivot (impulso do pivot não cria momento angular relativo ao próprio pivot). Assim, o momento angular total em torno do pivot é conservado durante o impacto.
- O momento angular de uma partícula de massa
que se move com velocidade perpendicular ao raio é . - Após a colisão, o sistema (criança + bola) pode ser tratado como massa concentrada em distância
do pivot; o momento de inércia é com massa total no ponto.
Aplicando ao primeiro impacto:
- Momento angular antes do impacto: apenas a bola contribui:
. - Massa total após o impacto:
. - Momento angular depois:
.
Conservação:
Isolando
:
Cálculo numérico:
Passo 3
Determinar a amplitude máxima da primeira oscilação e o instante em que ocorre (momento do segundo impacto).
Vou modelar o pequeno deslocamento angular como um oscilador linear amortecido:
com
(frequência natural não amortecida). Explico:
-
é o deslocamento angular pequeno. -
é a frequência natural do pêndulo não amortecido. -
é a razão adimensional de amortecimento.
Cálculo de parâmetros:
Frequência amortecida (útil):
Solução com condições iniciais logo após o primeiro impacto:
-
(estava vertical); -
(obtido no Passo 2).
Para essas condições a solução é
O primeiro máximo (primeira amplitude) ocorre quando
. Isso leva à relação
logo
O valor de
nesse instante é
pois
(identidade que surge da definição do ângulo).
Cálculo numérico:
Agora
:
Portanto o segundo impacto ocorre no instante
depois do primeiro impacto, e a posição angular naquele instante é
.
Passo 4
Segunda colisão: velocidade angular imediatamente após o segundo impacto.
Situação no instante do segundo impacto:
- A criança (com a primeira bola já aderida) está momentaneamente em repouso (
) no máximo da primeira oscilação. - A segunda bola chega com velocidade horizontal
. - Durante o impacto, momento angular em torno do pivot é conservado (mesma argumentação do Passo 2).
Antes do impacto: momento angular vindo da segunda bola (aproximação de ângulos pequenos — a velocidade da bola é praticamente tangencial quando o bob está ligeiramente deslocado):
Massa total após o segundo impacto:
Depois do impacto: momento angular
. Assim
Cálculo numérico:
Observação física: o impacto ocorre quando a criança está em
e com velocidade zero; após o impacto a criança terá
e
(este é o novo valor inicial para a oscilação após o impacto).
Passo 5
Determinar a nova amplitude máxima (após o segundo impacto) e o instante absoluto em que essa amplitude é atingida.
Coloco a origem de tempo
no instante do segundo impacto. Condições iniciais para o movimento após impacto:
Solução geral (subamortecido):
onde
O primeiro máximo subsequente (próxima extremidade) ocorre quando
. Da condição
obtemos:
(Esse
será o tempo contado desde o segundo impacto até a nova amplitude máxima.)
Cálculo numérico passo a passo:
- Valores já conhecidos:
,
,
,
.
Calcular
:
Agora o argumento da tangente:
- Numerador
(observe que volta a aparecer ). - Denominador
Agora o valor de
nesse instante (amplitude máxima após o segundo impacto):
Cálculo numérico:
soma
.
Fator exponencial:
Fator exponencial:
Portanto
Altura máxima relativa ao ponto mais baixo do balanço (altura vertical alcançada):
- Altura em função de ângulo:
.
Cálculo:
(Confirmação com aproximação de pequeno ângulo:
.)
Instante absoluto (a partir do primeiro impacto) em que essa altura é atingida:
Passo 6
Interpretações finais e verificação das ordens de grandeza (rápido e amigo):
- As velocidades angulares são pequenas (centésimos de rad/s), compatível com massas muito maiores da criança comparadas à bola.
- A altura máxima é da ordem de milímetros (cerca de
mm) — faz sentido: a criança é pesada e a bola pequena só acrescenta pouca energia. - O tempo total até essa nova amplitude é menor que 1 s, compatível com a frequência natural do pêndulo (
s de período aproximado).
Resposta
(a)
(b)
(c)