Uma criança de \mathbf{1 0 ~ k g} está sentada em um balanço idealizado como um pêndulo simples de comprimento \mathrm{L}=1,0 \mathrm{~m}, inicialmente em repouso. O sistema tem fator de amortecimento \zeta=\mathbf{0 , 0 5}. Um adulto lança uma bola de massa 0,5 \mathrm{~kg} com velocidade horizontal de 5,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A bola adere à criança após o impacto. Considere que o primeiro impacto ocorre quando a criança está na posição vertical (em repouso) e que a corda do pêndulo permanece sempre tensionada.
A criança começa a oscilar. No instante em que ela atinge a máxima amplitude angular da primeira oscilação, uma segunda bola, também de massa \mathbf{0 , 5 ~ k g}, é lançada horizontalmente com velocidade de \mathbf{3 , 0 ~ m} / \mathbf{s} \mathbf{3} e colide novamente com o conjunto criança + bola. Esse segundo impacto também é perfeitamente inelástico.
Sabendo que as massas das bolas e da criança permanecem unidas após os impactos e os ângulos de oscilação são pequenos (use aproximações lineares).
\end{abstract}

Pergunta:

(a) Determine a velocidade angular da criança imediatamente após o primeiro impacto.
(b) Determine a velocidade angular da criança imediatamente após o segundo impacto, que ocorre no instante de máxima amplitude angular da oscilação.
(c) Calcule a altura máxima e o instante em que a criança atinge.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Massa da criança: m_c = 10\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento do pêndulo: L = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Amortecimento (razão de amortecimento): \zeta = 0{,}05.
  • Primeira bola: massa m_{b1} = 0{,}5\\ \mathrm{kg}, velocidade horizontal v_{b1} = 5{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Segunda bola: massa m_{b2} = 0{,}5\\ \mathrm{kg}, velocidade horizontal v_{b2} = 3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • As colisões são perfeitamente inelásticas (a bola adere à criança).
  • O primeiro impacto ocorre com a criança na posição vertical e em repouso.
  • O segundo impacto ocorre no instante de máxima amplitude angular da primeira oscilação.
  • Ângulos pequenos (aproximações lineares válidas).
Pede-se:
(a) velocidade angular imediatamente após o primeiro impacto;
(b) velocidade angular imediatamente após o segundo impacto (impacto no instante de máxima amplitude);
(c) altura máxima alcançada e o instante em que a criança atinge essa altura (interpreto que é a altura máxima atingida depois do segundo impacto e o instante absoluto desde o primeiro impacto).

Passo 2

Conservação do momento angular no impacto instantâneo (primeiro impacto).
Explicação didática do conceito que vou usar:
  • Num impacto muito rápido sobre um pêndulo preso por um pivot ideal, o impulso do pivot atua no ponto de apoio; durante o tempo de impacto podemos desprezar o torque externo em relação ao pivot (impulso do pivot não cria momento angular relativo ao próprio pivot). Assim, o momento angular total em torno do pivot é conservado durante o impacto.
  • O momento angular de uma partícula de massa m que se move com velocidade v perpendicular ao raio L é L_{\text{ang}} = m v L.
  • Após a colisão, o sistema (criança + bola) pode ser tratado como massa concentrada em distância L do pivot; o momento de inércia é I = M L^2 com M massa total no ponto.
Aplicando ao primeiro impacto:
  • Momento angular antes do impacto: apenas a bola contribui: L_{\text{antes}} = m_{b1} v_{b1} L.
  • Massa total após o impacto: M_1 = m_c + m_{b1}.
  • Momento angular depois: L_{\text{depois}} = I_1 \,\omega_1 = M_1 L^2 \,\omega_1.
    Conservação:
m_{b1} v_{b1} L = M_1 L^2 \,\omega_1
Isolando \omega_1:
\omega_1 = \frac{m_{b1} v_{b1}}{M_1 L}.
Cálculo numérico:
M_1 = 10 + 0{,}5 = 10{,}5\\ \mathrm{kg},
\omega_1 = \frac{0{,}5 \cdot 5{,}0}{10{,}5 \cdot 1{,}0} = \frac{2{,}5}{10{,}5} \approx 0{,}238095\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Determinar a amplitude máxima da primeira oscilação e o instante em que ocorre (momento do segundo impacto).
Vou modelar o pequeno deslocamento angular como um oscilador linear amortecido:
\ddot\theta + 2\zeta\omega_n \dot\theta + \omega_n^2 \theta = 0,
com \omega_n = \sqrt{g/L} (frequência natural não amortecida). Explico:
  • \theta(t) é o deslocamento angular pequeno.
  • \omega_n é a frequência natural do pêndulo não amortecido.
  • \zeta é a razão adimensional de amortecimento.
Cálculo de parâmetros:
\omega_n = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{9{,}81}{1{,}0}} \approx 3{,}13209\\ \mathrm{rad/s}.
Frequência amortecida (útil):
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
Solução com condições iniciais logo após o primeiro impacto:
  • \theta(0)=0 (estava vertical);
  • \dot\theta(0)=\omega_1 (obtido no Passo 2).
Para essas condições a solução é
\theta(t)=\frac{\omega_1}{\omega_d}\,e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\omega_d t).
O primeiro máximo (primeira amplitude) ocorre quando \dot\theta(t)=0. Isso leva à relação
\tan(\omega_d t_1)=\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta},
logo
\omega_d t_1 = \arctan\!\left(\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\right).
O valor de \theta nesse instante é
\theta_{\max,1} = \frac{\omega_1}{\omega_d}\,e^{-\zeta\omega_n t_1}\sin(\omega_d t_1) = \frac{\omega_1}{\omega_d}\,e^{-\zeta\omega_n t_1}\sqrt{1-\zeta^2},
pois \sin(\omega_d t_1)=\sqrt{1-\zeta^2} (identidade que surge da definição do ângulo).
Cálculo numérico:
\omega_d = 3{,}13209\sqrt{1-0{,}05^2} \approx 3{,}12728\\ \mathrm{rad/s},
\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \approx \frac{0{,}998749}{0{,}05} \approx 19{,}975,
\omega_d t_1 \approx \arctan(19{,}975) \approx 1{,}52077\\ \mathrm{rad},
t_1 \approx \frac{1{,}52077}{3{,}12728} \approx 0{,}48654\\ \mathrm{s}.
Agora \theta_{\max,1}:
\theta_{\max,1} = \frac{0{,}238095}{3{,}12728}\,e^{-0{,}05\cdot 3{,}13209\cdot 0{,}48654}\sqrt{1-0{,}05^2} \approx 0{,}07045\\ \mathrm{rad}.
Portanto o segundo impacto ocorre no instante t_1 \approx 0{,}48654\\ \mathrm{s} depois do primeiro impacto, e a posição angular naquele instante é \theta_{\max,1}\approx 0{,}07045\\ \mathrm{rad}.

Passo 4

Segunda colisão: velocidade angular imediatamente após o segundo impacto.
Situação no instante do segundo impacto:
  • A criança (com a primeira bola já aderida) está momentaneamente em repouso ( \dot\theta=0) no máximo da primeira oscilação.
  • A segunda bola chega com velocidade horizontal v_{b2}=3{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Durante o impacto, momento angular em torno do pivot é conservado (mesma argumentação do Passo 2).
Antes do impacto: momento angular vindo da segunda bola (aproximação de ângulos pequenos — a velocidade da bola é praticamente tangencial quando o bob está ligeiramente deslocado):
L_{\text{antes}} = m_{b2} v_{b2} L.
Massa total após o segundo impacto:
M_2 = m_c + m_{b1} + m_{b2} = 10 + 0{,}5 + 0{,}5 = 11{,}0\\ \mathrm{kg}.
Depois do impacto: momento angular = M_2 L^2 \omega_2. Assim
\omega_2 = \frac{m_{b2} v_{b2}}{M_2 L}.
Cálculo numérico:
\omega_2 = \frac{0{,}5\cdot 3{,}0}{11{,}0\cdot 1{,}0} = \frac{1{,}5}{11{,}0} \approx 0{,}136364\\ \mathrm{rad/s}.
Observação física: o impacto ocorre quando a criança está em \theta_{\max,1} e com velocidade zero; após o impacto a criança terá \theta(0)=\theta_{\max,1} e \dot\theta(0^+)=\omega_2 (este é o novo valor inicial para a oscilação após o impacto).

Passo 5

Determinar a nova amplitude máxima (após o segundo impacto) e o instante absoluto em que essa amplitude é atingida.
Coloco a origem de tempo t'=0 no instante do segundo impacto. Condições iniciais para o movimento após impacto:
\theta(0)=C=\theta_{\max,1},\qquad \dot\theta(0)=\omega_2.
Solução geral (subamortecido):
\theta(t')=e^{-\zeta\omega_n t'}\bigl[C\cos(\omega_d t') + D\sin(\omega_d t')\bigr],
onde
D=\frac{\omega_2 + \zeta\omega_n C}{\omega_d}.
O primeiro máximo subsequente (próxima extremidade) ocorre quando \dot\theta(t')=0. Da condição \dot\theta=0 obtemos:
\tan(\omega_d t'_p)=\frac{-\zeta\omega_n C + D\omega_d}{\zeta\omega_n D + C\omega_d}.
(Esse t'_p será o tempo contado desde o segundo impacto até a nova amplitude máxima.)
Cálculo numérico passo a passo:
  • Valores já conhecidos:
    \;C=\theta_{\max,1}=0{,}07045\\ \mathrm{rad},
    \;\omega_2=0{,}136364\\ \mathrm{rad/s},
    \;\omega_d\approx 3{,}12728\\ \mathrm{rad/s},
    \;\zeta\omega_n \approx 0{,}05\cdot 3{,}13209 = 0{,}1566045\\ \mathrm{s^{-1}}.
Calcular D:
D=\frac{0{,}136364 + 0{,}1566045\cdot 0{,}07045}{3{,}12728} = \frac{0{,}136364 + 0{,}011016}{3{,}12728} = \frac{0{,}147380}{3{,}12728} \approx 0{,}047126.
Agora o argumento da tangente:
  • Numerador N = -\zeta\omega_n C + D\omega_d = -0{,}011016 + 0{,}047126\cdot 3{,}12728 \approx 0{,}136364 (observe que volta a aparecer \omega_2).
  • Denominador D_{\tan} = \zeta\omega_n D + C\omega_d \approx 0{,}007377 + 0{,}220389 \approx 0{,}227766.
\tan(\omega_d t'_p) = \frac{0{,}136364}{0{,}227766} \approx 0{,}59872.
\omega_d t'_p \approx \arctan(0{,}59872) \approx 0{,}53990\\ \mathrm{rad}.
t'_p \approx \frac{0{,}53990}{3{,}12728} \approx 0{,}17277\\ \mathrm{s}.
Agora o valor de \theta nesse instante (amplitude máxima após o segundo impacto):
\theta_{\max,2} = e^{-\zeta\omega_n t'_p}[C\cos(\omega_d t'_p) + D\sin(\omega_d t'_p)].
Cálculo numérico:
\cos(0{,}53990)\approx 0{,}85740,\quad \sin(0{,}53990)\approx 0{,}51464,
C\cos \approx 0{,}07045\cdot 0{,}85740 \approx 0{,}06045,
D\sin \approx 0{,}047126\cdot 0{,}51464 \approx 0{,}02426,
soma \approx 0{,}08471.
Fator exponencial:
e^{-\zeta\omega_n t'_p} = e^{-0{,}1566045\cdot 0{,}17277} \approx e^{-0{,}02703} \approx 0{,}97334.
Portanto
\theta_{\max,2} \approx 0{,}97334\cdot 0{,}08471 \approx 0{,}08246\\ \mathrm{rad}.
Altura máxima relativa ao ponto mais baixo do balanço (altura vertical alcançada):
  • Altura em função de ângulo: h = L(1-\cos\theta).
    Cálculo:
h_{\max} = 1{,}0\bigl(1-\cos(0{,}08246)\bigr) \approx 1{,}0\cdot 0{,}003401 \approx 0{,}003401\\ \mathrm{m}.
(Confirmação com aproximação de pequeno ângulo: h\approx \tfrac{1}{2}L\theta^2 \approx 0{,}5\cdot 0{,}08246^2\approx 0{,}00340\\ \mathrm{m}.)
Instante absoluto (a partir do primeiro impacto) em que essa altura é atingida:
t_{\text{total}} = t_1 + t'_p \approx 0{,}48654 + 0{,}17277 \approx 0{,}65931\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Interpretações finais e verificação das ordens de grandeza (rápido e amigo):
  • As velocidades angulares são pequenas (centésimos de rad/s), compatível com massas muito maiores da criança comparadas à bola.
  • A altura máxima é da ordem de milímetros (cerca de 3{,}4 mm) — faz sentido: a criança é pesada e a bola pequena só acrescenta pouca energia.
  • O tempo total até essa nova amplitude é menor que 1 s, compatível com a frequência natural do pêndulo ( \sim 0{,}32 s de período aproximado).

Resposta

(a) \omega_1 \approx 0{,}238\\ \mathrm{rad/s}
(b) \omega_2 \approx 0{,}136\\ \mathrm{rad/s}
(c) h_{\max} \approx 0{,}003401\\ \mathrm{m}
t \approx 0{,}659\\ \mathrm{s}

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