Dada a função f(x, y) a seguir, verifique se existe e caso exista, calcule o: \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y). Sugestão: Use coordenadas polares nos itens b e c.
f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe e, caso exista, calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
onde a função é f(x,y)=\dfrac{\sin\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função está definida por f(x,y)=\dfrac{\sin\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} para (x,y)\neq(0,0). (Se a definição no ponto (0,0) não foi dada, consideramos apenas a expressão para pontos distintos de (0,0).)
  • O objetivo é determinar se o limite existe quando (x,y) se aproxima de (0,0) e, se existir, encontrar o valor.
  • Foi sugerido usar coordenadas polares nos itens b e c; aqui isso é útil porque a expressão depende de x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Trocar para coordenadas polares. Em coordenadas polares tem-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Substituindo na função obtemos (para r\neq 0)
f(x,y)=\frac{\sin\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{\sin\left(r^{2}\right)}{r^{2}}.
Observe que a expressão resultante depende apenas de r e não de \theta: a função é radial (só depende da distância ao origem).

Passo 3

Relacionar o limite bidimensional ao limite unidimensional em r. O limite (x,y)\to(0,0) equivale a r\to 0^{+} (porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0 e r\to 0 quando (x,y)\to(0,0)). Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{r\to 0^{+}}\frac{\sin\left(r^{2}\right)}{r^{2}}.
Para estudar esse limite, faça a mudança de variável t=r^{2}. Quando r\to 0^{+} temos t\to 0^{+}. Portanto
\lim_{r\to 0^{+}}\frac{\sin\left(r^{2}\right)}{r^{2}}=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\sin t}{t}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}. Este é um limite clássico de uma função de uma variável. Vou mostrar uma demonstração padrão usando desigualdades (argumento geométrico clássico para 0<t<\tfrac{\pi}{2}) que leva ao Teorema do Confronto (squeeze):
Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade conhecida
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Explicação curta da desigualdade: comparando áreas no círculo unitário obtém-se \sin t < t < \tan t para 0<t<\tfrac{\pi}{2}. Dividindo por t e reescrevendo \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} resulta \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1. Para t<0 usa-se que \dfrac{\sin t}{t} é uma função par, logo o mesmo limite vale ao aproximar por valores negativos.
Agora, ao fazer t\to 0 a função \cos t tende a \cos 0=1. Pelo Teorema do Confronto, como \cos t \le \dfrac{\sin t}{t} \le 1 e ambos os extremos tendem a 1, conclui-se
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 5

Retornar ao problema em duas variáveis. Pela Passo 3 temos que o limite bidimensional é igual ao limite unidimensional que acabamos de calcular. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Além disso, como a expressão em coordenadas polares não depende de \theta, o valor do limite não depende do caminho pelo qual (x,y) se aproxima da origem: o limite é único e igual a 1.

Resposta

1

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