Dada a função
a seguir, verifique se existe e caso exista, calcule o:
. Sugestão: Use coordenadas polares nos itens b e c.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe e, caso exista, calcular o limite
onde a função é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função está definida por
para . (Se a definição no ponto não foi dada, consideramos apenas a expressão para pontos distintos de .) - O objetivo é determinar se o limite existe quando
se aproxima de e, se existir, encontrar o valor. - Foi sugerido usar coordenadas polares nos itens b e c; aqui isso é útil porque a expressão depende de
.
Passo 2
Trocar para coordenadas polares. Em coordenadas polares tem-se
e
, com
e
. Então
Substituindo na função obtemos (para
)
Observe que a expressão resultante depende apenas de
e não de
: a função é radial (só depende da distância ao origem).
Passo 3
Relacionar o limite bidimensional ao limite unidimensional em
. O limite
equivale a
(porque
e
quando
). Assim
Para estudar esse limite, faça a mudança de variável
. Quando
temos
. Portanto
Passo 4
Calcular
. Este é um limite clássico de uma função de uma variável. Vou mostrar uma demonstração padrão usando desigualdades (argumento geométrico clássico para
) que leva ao Teorema do Confronto (squeeze):
Para
vale a desigualdade conhecida
Explicação curta da desigualdade: comparando áreas no círculo unitário obtém-se
para
. Dividindo por
e reescrevendo
resulta
. Para
usa-se que
é uma função par, logo o mesmo limite vale ao aproximar por valores negativos.
Agora, ao fazer
a função
tende a
. Pelo Teorema do Confronto, como
e ambos os extremos tendem a
, conclui-se
Passo 5
Retornar ao problema em duas variáveis. Pela Passo 3 temos que o limite bidimensional é igual ao limite unidimensional que acabamos de calcular. Assim
Além disso, como a expressão em coordenadas polares não depende de
, o valor do limite não depende do caminho pelo qual
se aproxima da origem: o limite é único e igual a
.