O Criptônio- 85 é um elemento radioativo. Uma amostra desse elemento se desintegra a uma taxa de 6,3 \% ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063$$).
Qual a meia-vida desse elemento, ou seja, qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento caia pela metade?

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo do criptônio-85, cuja massa M(t) decresce de forma proporcional à própria massa com constante de decaimento k = 0,063 ano ^{-1}. O conteúdo é equação diferencial de decaimento exponencial e queremos a meia-vida, isto é, o tempo necessário para M(t) cair a metade de M_0 = M(0).

Passo 2

Modelamos o decaimento por
\frac{dM}{dt} = -k\,M(t)
cuja solução geral é
M(t) = M_0\,e^{-k t}.

Passo 3

Definimos a meia-vida T_{1/2} como o tempo em que M(T_{1/2}) = \tfrac12\,M_0. Assim,
\frac{M_0}{2} = M_0\,e^{-k T_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad e^{-k T_{1/2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -k\,T_{1/2} = \ln\tfrac12 = -\ln 2
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T_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.

Passo 4

Substituindo k = 0,063 ano ^{-1}:
T_{1/2} = \frac{\ln 2}{0,063} \approx \frac{0,693147}{0,063} \approx 11{,}0\text{ anos}.

Resposta

A meia-vida do criptônio-85 é aproximadamente 11 anos.

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