O Criptônio- 85 é um elemento radioativo. Uma amostra desse elemento se desintegra a uma taxa de 6,3 \% ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063$$).
Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a 1 / 4 da massa inicial?

Passo 1

O enunciado diz que uma amostra de Criptônio-85 tem decaimento contínuo e proporcional à massa no instante, com constante de proporcionalidade igual a 0,063 (isto é, 6,3\% ao ano). Pede-se o tempo para que a massa caia a 1/4 da massa inicial. O conteúdo aqui é decaimento exponencial e solução de equação diferencial do tipo \tfrac{dm}{dt}=-k\,m.

Passo 2

Modelamos o decaimento pela equação diferencial
\frac{dm}{dt} = -0,063\,m,
cuja solução geral, com m(0)=m_0, é
m(t) = m_0\,e^{-0,063\,t}.

Passo 3

Impondo que m(t)=\tfrac{1}{4}\,m_0, temos
m_0\,e^{-0,063\,t} = \frac{1}{4}\,m_0 \quad\Longrightarrow\quad e^{-0,063\,t} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad -0,063\,t = \ln\!\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr) = -\ln(4).
Logo,
t = \frac{\ln(4)}{0,063}.

Passo 4

Calculando numericamente, use \ln(4)\approx1,38629:
t \approx \frac{1,38629}{0,063}\approx22,0.

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 22 anos.

Exercícios relacionados