a) Mostre que a equação diferencial
é separável.
b) Resolva o PVI
b) Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado pede:
a) mostrar que a equação diferencial
a) mostrar que a equação diferencial
é separável;
b) resolver o problema de valor inicial (PVI) com .
O conteúdo mobilizado é EDO de primeira ordem por separação de variáveis: reescrever de modo a isolar termos em
de um lado e termos em
do outro, depois integrar.
b) resolver o problema de valor inicial (PVI) com
O conteúdo mobilizado é EDO de primeira ordem por separação de variáveis: reescrever
Passo 2
Reescrevendo
e multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Isso mostra explicitamente que a equação é separável, pois um lado depende só de
e o outro só de
.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Calculamos as integrais indefinidas:
Igualando e escrevendo
, resulta
Passo 5
Para determinar
, usamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Passo 6
Logo, a solução do PVI é dada implicitamente por
Essa relação define
em função de
de forma única perto de
. Resolver explicitamente exigiria fórmula de raízes de um cúbico, então costuma-se deixar na forma implícita acima.
Resposta
a) A EDO é separável porque pode ser escrita como
.
b) A solução do PVI é dada implicitamente por
b) A solução do PVI é dada implicitamente por