a) Mostre que a equação diferencial
y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y}
é separável.
b) Resolva o PVI
y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede:
a) mostrar que a equação diferencial
y' = \frac{1+3x^2}{3y^2 -6y}
é separável;
b) resolver o problema de valor inicial (PVI) com y(0)=1.
O conteúdo mobilizado é EDO de primeira ordem por separação de variáveis: reescrever \frac{dy}{dx} de modo a isolar termos em y de um lado e termos em x do outro, depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo y'=\frac{dy}{dx} e multiplicando ambos os lados por (3y^2-6y)\,dx, obtemos
(3y^2 -6y)\,dy = (1+3x^2)\,dx.
Isso mostra explicitamente que a equação é separável, pois um lado depende só de y e o outro só de x.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int (3y^2 -6y)\,dy = \int (1+3x^2)\,dx.

Passo 4

Calculamos as integrais indefinidas:
\int (3y^2 -6y)\,dy = y^3 -3y^2 + C_1,
\int (1+3x^2)\,dx = x + x^3 + C_2.
Igualando e escrevendo C = C_2 - C_1, resulta
y^3 -3y^2 = x^3 + x + C.

Passo 5

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0, y=1:
1^3 -3\cdot1^2 = 0^3 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 -3 = C \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Passo 6

Logo, a solução do PVI é dada implicitamente por
y^3 -3y^2 = x^3 + x -2.
Essa relação define y em função de x de forma única perto de x=0. Resolver explicitamente exigiria fórmula de raízes de um cúbico, então costuma-se deixar na forma implícita acima.

Resposta

a) A EDO é separável porque pode ser escrita como (3y^2-6y)\,dy=(1+3x^2)\,dx.
b) A solução do PVI é dada implicitamente por
\boxed{\,y^3 -3y^2 = x^3 + x -2\,}.

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