Calcule \iint_{R}\left(y \cos x^{5}\right) d A onde R é a região limitada pelas curvas y=x^{2}, y=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \bigl(y\cos x^{5}\bigr)\,dA
em que R é a região limitada por y=0, y=x^{2} e x=2.
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração e uso de substituição para calcular integrais em uma só variável.

Passo 2

Como R é dado por
0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le x^{2},
podemos escrever
\iint_{R} y\cos x^{5}\,dA =\int_{x=0}^{2}\Bigl(\int_{y=0}^{x^{2}}y\cos x^{5}\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Na integral interna \displaystyle \int_{0}^{x^{2}}y\cos x^{5}\,dy, \cos x^{5} é constante em y. Logo,
\int_{0}^{x^{2}}y\cos x^{5}\,dy =\cos x^{5}\int_{0}^{x^{2}}y\,dy =\cos x^{5}\,\biggl[\frac{y^{2}}{2}\biggr]_{0}^{x^{2}} =\frac{x^{4}}{2}\cos x^{5}.
Assim a integral total fica
\int_{0}^{2}\frac{x^{4}}{2}\cos x^{5}\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{2}x^{4}\cos x^{5}\,dx usamos a substituição
u = x^{5},\quad du = 5x^{4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{4}\,dx = \frac{du}{5}.
Quando x=0, u=0; quando x=2, u=2^{5}=32. Então
\int_{0}^{2}x^{4}\cos x^{5}\,dx =\int_{u=0}^{32}\frac{\cos u}{5}\,du =\frac{1}{5}\bigl[\sin u\bigr]_{0}^{32} =\frac{\sin(32)}{5}.
Lembrando o fator \tfrac12 que ficou fora, a integral original vale
\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(32)}{5} =\frac{\sin(32)}{10}.

Resposta

\iint_{R}y\cos x^{5}\,dA =\frac{\sin(32)}{10}.

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