O Criptônio- 85 é um elemento radioativo. Uma amostra desse elemento se desintegra a uma taxa de 6,3 \% ao ano (isso significa que a taxa anual com que a massa da amostra diminui é proporcional em cada instante à massa da amostra, sendo a constante de proporcionalidade igual a 0,063$$).
Qual o tempo necessário para que a massa de uma amostra desse elemento se reduza a 1 / 6 da massa inicial?

Passo 1

O enunciado diz que a massa M(t) de uma amostra de criptônio-85 decai exponencialmente com taxa proporcional de 6,3\% ao ano, ou seja, a constante de decaimento é
\lambda = 0,063\\ (\text{ano}^{-1}).
Precisamos achar o tempo t para que
\frac{M(t)}{M(0)} = \frac{1}{6}.

Passo 2

Modelamos o decaimento pela equação diferencial
M'(t) = -\lambda\,M(t).
Integrando, obtemos a solução geral
M(t) = M(0)\,e^{-\lambda t}.

Passo 3

Impondo a condição de redução a um sexto da massa inicial:
\frac{M(t)}{M(0)} = e^{-\lambda t} = \frac{1}{6}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-\lambda t = \ln\bigl(\tfrac{1}{6}\bigr) = -\ln(6),
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t = \frac{\ln(6)}{\lambda}.

Passo 4

Substituindo \lambda = 0,063:
t = \frac{\ln(6)}{0,063} \approx \frac{1,79176}{0,063} \approx 28,44.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente 28,4 anos.

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