Questão 1. Resolva em \mathbb{R} a equação |2-x|+|x+1|=5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
|2 - x| + |x + 1| = 5.
O que precisamos aqui é entender como o valor absoluto funciona e usar uma análise por intervalos baseados nos pontos que zeram as expressões dentro dos módulos, neste caso x=2 e x=-1.

Passo 2

Dividimos a reta real em três regiões conforme os sinais de 2-x e x+1:
  1. x < -1.
  2. -1 \le x < 2.
  3. x \ge 2.
Em cada região, substituímos |2-x| e |x+1| por expressões sem módulo.

Passo 3

Para x < -1: temos 2-x>0 e x+1<0, logo
|2-x| = 2 - x, \quad |x+1| = -(x+1) = -x - 1.
A equação vira
(2 - x) + (-x - 1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 1 - 2x = 5 \quad\Longrightarrow\quad -2x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.
Como -2 < -1, esse valor está na região considerada e é solução.

Passo 4

Para -1 \le x < 2: aqui 2-x>0 e x+1\ge0, então
|2-x| = 2 - x, \quad |x+1| = x + 1,
e a equação fica
(2 - x) + (x + 1) = 3 \neq 5,
logo não há solução nesse intervalo.

Passo 5

Para x \ge 2: temos 2-x\le0 e x+1\ge0, portanto
|2-x| = x - 2, \quad |x+1| = x + 1,
e a equação se transforma em
(x - 2) + (x + 1) = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 1 = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.
Como 3 \ge 2, esse valor também é solução.

Resposta

As soluções da equação são
\{-2,\,3\}.

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