Questão 2. Resolva em \mathbb{R} a inequação
\frac{x^{3}-4 x^{2}+x+6}{x^{2}-5 x+6} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
\frac{x^{3}-4x^{2}+x+6}{x^{2}-5x+6}\ge 0.
O conteúdo é análise de sinais de uma função racional. Vamos precisar fatorar numerador e denominador, identificar pontos críticos (zeros e polos) e montar o estudo de sinais.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^{3}-4x^{2}+x+6 = (x+1)(x^{2}-5x+6) = (x+1)(x-2)(x-3),
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).

Passo 3

A expressão torna-se, para x\neq 2,3,
\frac{(x+1)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} = x+1.
O domínio é \mathbb{R}\setminus\{2,3\}. Nas aberturas em x=2 e x=3 a função não está definida.

Passo 4

Para estudar
x+1\ge 0
no domínio, notamos que o zero é em x=-1 e que x+1<0 para x<-1 e x+1>0 para x>-1.

Passo 5

Unindo a condição x+1\ge 0 com a exclusão de 2 e 3, obtemos
x\ge -1,\quad x\neq 2,\;x\neq 3.

Resposta

[-1,2)\,\cup\,(2,3)\,\cup\,(3,\infty).

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