1. Cristais muito pequenos constituídos de mil a cem mil átomos, chamados pontos quânticos, estão sendo pesquisados para uso em dispositivos eletrônicos.
b) Suponha que o silício em um ponto tenha uma densidade de 2,3 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, calcule seu volume.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Dado: densidade do silício \rho = 2,3\\ \mathrm{g/cm^{3}} (peguei este número do enunciado).
  • Informação implícita (do contexto): pontos quânticos têm entre mil e cem mil átomos, ou seja, N varia de 10^{3} até 10^{5}.
  • O que pedir: calcular o volume do silício correspondente a um ponto com N átomos.
  • Dados adicionais necessários que vou usar (valores padrão):
    • massa atômica do silício M_{\mathrm{Si}} = 28,0855\\ \mathrm{g/mol} (valor da tabela periódica).
    • constante de Avogadro N_{A}=6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas básicas (explicação didática):
  • Ideia física: densidade é massa por volume. Se eu souber a massa m da porção de silício que tem N átomos, então o volume é
V=\frac{m}{\rho}.
  • Como obter m? A massa de uma única átomo é M_{\mathrm{Si}}/N_{A} (porque M_{\mathrm{Si}} é a massa de N_{A} átomos). Então a massa de N átomos é
m = N\cdot\frac{M_{\mathrm{Si}}}{N_{A}}.
  • Combinando, obtemos a fórmula direta para o volume em função de N:
V = \frac{N\,M_{\mathrm{Si}}}{N_{A}\,\rho}.
  • Aqui:
    • V está em \mathrm{cm^{3}} se M_{\mathrm{Si}} está em \mathrm{g/mol}, N_{A} em \mathrm{mol^{-1}} e \rho em \mathrm{g/cm^{3}}.
    • N é o número de átomos (adimensional).

Passo 3

Calcule a massa de um átomo de silício (passo intermediário numérico, ensinando as contas):
  • Primeiro a massa de um átomo:
m_{\text{átomo}}=\frac{M_{\mathrm{Si}}}{N_{A}}=\frac{28,0855}{6,02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{g}.á
  • Fazendo a divisão (mostrando o raciocínio): multiplicando 28,0855 por 1,66053906660\times10^{-24}\\ \mathrm{g} (valor de 1\\ \mathrm{u} em gramas) dá o mesmo resultado; numericamente obtém-se
m_{\text{átomo}}\approx 4,6636\times10^{-23}\\ \mathrm{g}.á

Passo 4

Calcule o volume usando a fórmula e os casos extremos N=10^{3} e N=10^{5}:
  • Para N=10^{3}:
V=\frac{10^{3}\cdot 28,0855}{6,02214076\times10^{23}\cdot 2,3}\\ \mathrm{cm^{3}} \approx 2,0281\times10^{-20}\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Para N=10^{5} (cem vezes maior):
V\approx 100\cdot 2,0281\times10^{-20}\\ \mathrm{cm^{3}} = 2,0281\times10^{-18}\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 5

Interpretação numérica em unidades mais intuitivas (conversão para \mathrm{nm^{3}} e escala espacial):
  • Conversão: 1\\ \mathrm{cm^{3}} = 10^{21}\\ \mathrm{nm^{3}}. Assim,
    • para N=10^{3}:
    V\approx 2,0281\times10^{-20}\\ \mathrm{cm^{3}} = 20,281\\ \mathrm{nm^{3}}.
    • para N=10^{5}:
    V\approx 2,0281\times10^{-18}\\ \mathrm{cm^{3}} = 2028,1\\ \mathrm{nm^{3}}.
  • Para ter uma ideia do tamanho linear: se o ponto for aproximadamente esférico, o raio r satisfaz V=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, portanto
    • para N=10^{3}: r\approx 1,69\\ \mathrm{nm} (diâmetro \approx 3,38\\ \mathrm{nm});
    • para N=10^{5}: r\approx 7,86\\ \mathrm{nm} (diâmetro \approx 15,7\\ \mathrm{nm}).
      Esses números dão uma sensação do tamanho físico dos pontos quânticos.

Resposta

Volume para N=10^{3} átomos: 2,0281\times10^{-20}\\ \mathrm{cm^{3}} =\;20,281\\ \mathrm{nm^{3}}
Volume para N=10^{5} átomos: 2,0281\times10^{-18}\\ \mathrm{cm^{3}} =\;2028,1\\ \mathrm{nm^{3}}

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