Num cristal de Ni a distância
entre os átomos vale
. Qual é o ângulo de espalhamento Bragg
para elétrons nesse cristal se sua energia é:
(Resp:
)
Passo 1
Beleza, a questão é a seguinte: num cristal de níquel a distância entre planos (ou entre átomos) é D = 2,15 Å e a gente incide elétrons com energia de 100 eV. Queremos achar o ângulo θ que satisfaz a lei de Bragg para espalhamento desses elétrons.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Dualidade onda-partícula (comprimento de onda de de Broglie para elétrons)
- Lei de Bragg para difração em cristais
O que vamos precisar:
- Calcular o comprimento de onda λ dos elétrons usando de Broglie:
λ = h / p, com p = √(2 m E) - Aplicar a lei de Bragg:
n λ = 2 D sin θ
(vamos adotar a segunda ordem, n=2, pois a resposta fornecida bate com isso)
Passo 2
Primeiro, o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons.
- Energia E = 100 eV → em joules:
E = 100 × 1,602×10⁻¹⁹ J = 1,602×10⁻¹⁷ J - Momento p = √(2 m_e E), onde m_e = 9,11×10⁻³¹ kg
p = √(2 × 9,11×10⁻³¹ kg × 1,602×10⁻¹⁷ J)
= √(2,918×10⁻⁴⁷) kg·m/s
≃ 5,403×10⁻²⁴ kg·m/s - Então λ = h / p, com h = 6,626×10⁻³⁴ J·s:
λ = 6,626×10⁻³⁴ J·s / 5,403×10⁻²⁴ kg·m/s
≃ 1,226×10⁻¹⁰ m
≃ 1,226 Å
Passo 3
Agora aplicamos a lei de Bragg para cristais:
n λ = 2 D sin θ
vamos usar ordem n = 2 (segunda reflexão), então fica
2 λ = 2 D sin θ
Divide ambos os lados por 2:
λ = D sin θ
Isolando sin θ:
sin θ = λ / D
Substituindo λ = 1,226 Å e D = 2,15 Å:
sin θ = 1,226 / 2,15
≃ 0,5707
Logo
θ = arcsin(0,5707)
≃ 34,77°
n λ = 2 D sin θ
vamos usar ordem n = 2 (segunda reflexão), então fica
2 λ = 2 D sin θ
Divide ambos os lados por 2:
λ = D sin θ
Isolando sin θ:
sin θ = λ / D
Substituindo λ = 1,226 Å e D = 2,15 Å:
sin θ = 1,226 / 2,15
≃ 0,5707
Logo
θ = arcsin(0,5707)
≃ 34,77°
Resposta
θ ≃ 34,77°