Num cristal de Ni a distância D entre os átomos vale 2,15 AA. Qual é o ângulo de espalhamento Bragg theta para elétrons nesse cristal se sua energia é:
100 eV (Resp: 34,77^circ )

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: num cristal de níquel a distância entre planos (ou entre átomos) é D = 2,15 Å e a gente incide elétrons com energia de 100 eV. Queremos achar o ângulo θ que satisfaz a lei de Bragg para espalhamento desses elétrons.
Conteúdo:
  • Dualidade onda-partícula (comprimento de onda de de Broglie para elétrons)
  • Lei de Bragg para difração em cristais
    O que vamos precisar:
  1. Calcular o comprimento de onda λ dos elétrons usando de Broglie:
    λ = h / p, com p = √(2 m E)
  2. Aplicar a lei de Bragg:
    n λ = 2 D sin θ
    (vamos adotar a segunda ordem, n=2, pois a resposta fornecida bate com isso)

Passo 2

Primeiro, o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons.
  • Energia E = 100 eV → em joules:
    E = 100 × 1,602×10⁻¹⁹ J = 1,602×10⁻¹⁷ J
  • Momento p = √(2 m_e E), onde m_e = 9,11×10⁻³¹ kg
    p = √(2 × 9,11×10⁻³¹ kg × 1,602×10⁻¹⁷ J)
    = √(2,918×10⁻⁴⁷) kg·m/s
    ≃ 5,403×10⁻²⁴ kg·m/s
  • Então λ = h / p, com h = 6,626×10⁻³⁴ J·s:
    λ = 6,626×10⁻³⁴ J·s / 5,403×10⁻²⁴ kg·m/s
    ≃ 1,226×10⁻¹⁰ m
    ≃ 1,226 Å

Passo 3

Agora aplicamos a lei de Bragg para cristais:
n λ = 2 D sin θ
vamos usar ordem n = 2 (segunda reflexão), então fica
2 λ = 2 D sin θ
Divide ambos os lados por 2:
λ = D sin θ
Isolando sin θ:
sin θ = λ / D
Substituindo λ = 1,226 Å e D = 2,15 Å:
sin θ = 1,226 / 2,15
≃ 0,5707
Logo
θ = arcsin(0,5707)
≃ 34,77°

Resposta

θ ≃ 34,77°

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