A velocidade das ondas em uma superfície liquida é raiz2 pi Slambda rho, onde S é tensão superficial e rho a densidade do liquido. Encontre a velocidade de grupo destas ondas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a velocidade das ondas na superfície líquida, que é dada pela fórmula $ v_p = \sqrt{\frac{2 \pi S}{\lambda \rho}} $, onde $ S $ é a tensão superficial, $ \rho $ é a densidade do líquido e $ \lambda $ é o comprimento de onda. Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade de grupo dessas ondas. Para isso, vamos precisar entender como a velocidade de grupo está relacionada com a velocidade de fase e como derivar essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são velocidade de fase ($ v_p vp v_g $). A velocidade de fase é a velocidade com que uma onda individual (como uma crista) se propaga, enquanto a velocidade de grupo é a velocidade com que um grupo de ondas ou um pulso de onda se move.
Matematicamente, a velocidade de grupo é definida como $ v_g = \frac{d\omega}{dk} $, onde $ \omega $ é a frequência angular e $ k $ é o número de onda. A frequência angular está relacionada à velocidade de fase pela fórmula $ \omega = v_p \cdot k $.

Passo 3

Agora, vamos expressar o número de onda $ k $ em termos do comprimento de onda $ \lambda $. Sabemos que $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $. Vamos substituir isso na expressão da velocidade de fase:
k
Então, agora temos $ v_p = \sqrt{\frac{S k}{\rho}} $.

Passo 4

Com $ v_p $ expressa em termos de $ k $, podemos encontrar $ \omega $:
vp
Agora, para encontrar a velocidade de grupo $ v_g $, derivamos $ \omega $ em relação a $ k $:
k

Resposta

A velocidade de grupo das ondas é $ v_g = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{2 \pi S}{\lambda \rho}} $.

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