Um pacote de onda pode ser descrito por psi(x)=integral A(k) cos (k x) d k, em t=0. Considere que a função distribuição seja A(k)=C no intervalo k1 <= k <= k2 e A(k)=0 para outros valores de k.
Mostre que se A(k) é normalizada, isto é integral0^infty A(k) d k=1, o valor da constante é dada por C=1 / De, onde De

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício tá pedindo:
Temos um pacote de onda em t=0 descrito por
psi(x)=integral A(k),cos(kx),dk
e a “distribuição” A(k) é constante (igual a C) só entre k1 e k2, valendo zero fora desse intervalo. A questão é mostrar que, se a gente impõe a normalização
integral0^infty A(k),dk = 1,
então o valor da constante C tem que ser
C = 1De
Conteúdo: pacotes de onda e normalização de amplitudes. Vamos usar a teoria de integrais simples pra achar C.

Passo 2

O que significa normalizar A(k)?
Significa que a “soma” (no caso, a integral) de todas as amplitudes ao longo de k deve dar 1:
integral0^infty A(k),dk = 1
Como A(k)=C só de k1 até k2 e vale zero fora, a gente pode reescrever essa integral restringindo o intervalo.

Passo 3

Escrevendo a integral de normalização no intervalo certo:
integral0^infty A(k),dk = integral0^k1 0,dk ;+;integralk1^k2 C,dk ;+;integralk2^infty 0,dk = integralk1^k2 C,dk
Como C é constante, dá pra tirar ele fora da integral:
integralk1^k2 C,dk = C ,l[kr]k1^k2 = C,(k2 - k1)

Passo 4

A condição de normalização diz que isso tem que valer 1, então:
C,(k2 - k1) = 1
Agora é só isolar C.

Resposta

C = 1k2 - k1 = 1De

Exercícios relacionados