Um cristal de ferro-alpha foi analisado por difração de raios X com comprimento de onda de 1,79 A. Sabendo-se que o parâmetro de rede (a) do ferro-alpha vale 2,866 A, determine :
b) Determine os ângulos de difração (2θ) de cada um desses planos cristalinos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um cristal de ferro-alpha analisado por difração de raios X. A gente sabe que o comprimento de onda dos raios X usados é de 1,79 ÅÅ e o parâmetro de rede a do ferro-alpha é 2,866 ÅÅ. A parada aqui é descobrir os ângulos de difração ( ) para cada um dos planos cristalinos que a gente vai considerar. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Bragg e entender um pouco sobre redes cristalinas, especialmente a estrutura do ferro-alpha que é corpo centrado (bcc).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Bragg. Ela relaciona o ângulo de difração ( θ), o comprimento de onda ( λ) dos raios X e o espaçamento entre os planos cristalinos ( d):
nλ = 2d sinθ
Aqui, n é a ordem da difração, que geralmente consideramos como 1 para a primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar θ, mas a gente vai focar no que é o que geralmente se mede nos experimentos de difração.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o espaçamento entre os planos cristalinos ( d). Para isso, vai depender das direções dos planos que a gente está analisando, que são dadas pelos índices de Miller (hkl). A fórmula para d em uma estrutura bcc é:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2
Então, dependendo dos índices h, k, l dos planos que estamos olhando, podemos calcular dhkl.

Passo 4

Vamos supor que estamos analisando os planos (110), (200) e (211) no cristal de ferro-alpha. Vamos calcular d para cada um desses:
  1. Para (110):
d110 = 2,866raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = 2,866raiz2 approx 2,029 Å Å
  1. Para (200):
d200 = 2,866raiz2^2 + 0^2 + 0^2 = 2,8662 = 1,433 Å Å
  1. Para (211):
d211 = 2,866raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = 2,866raiz6 approx 1,170 Å Å

Passo 5

Agora que temos os valores de d para cada plano, vamos usar a Lei de Bragg para encontrar θ. Reorganizando a fórmula:
sinθ = nλ2d
Como vamos para a primeira ordem de difração ( n=1), temos:
θ = arcsin(λ2d)
E lembremos que a parte que a gente mede é .

Passo 6

Vamos calcular θ para cada plano:
  1. Para (110):
θ = arcsin(1,792 times 2,029) = arcsin(1,794,058) approx arcsin(0,440) approx 26,2^circ
Então, 2θ approx 52,4^circ.
  1. Para (200):
θ = arcsin(1,792 times 1,433) = arcsin(1,792,866) approx arcsin(0,624) approx 38,7^circ
Então, 2θ approx 77,4^circ.
  1. Para (211):
θ = arcsin(1,792 times 1,170) = arcsin(1,792,340) approx arcsin(0,765) approx 50^circ
Então, 2θ approx 100^circ.

Resposta

Os ângulos de difração ( ) para os planos cristalinos (110), (200) e (211) do cristal de ferro-alpha são aproximadamente:
  • (110): 52,4^circ
  • (200): 77,4^circ
  • (211): 100^circ

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