(valor \mathbf{3 , 0} pontos) Calcular o calor transferido por unidade de comprimento ( \mathrm{q}^{\prime} ) em uma tubulação de aço ( \mathrm{k}=15,1 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), com diâmetro interior de 8 cm e diâmetro exterior de 8,8 \mathrm{~cm}, revestida com 3 cm de isolamento de fibra de lã de vidro ( \mathrm{k}=0,035 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). A tubulação transporta vapor de água a 300^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura ambiente exterior é de 15^{\circ} \mathrm{C}. Os coeficientes convectivos interior e exterior são 150 e 25 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}.
A_{\text {lateral }}=2 \pi . r . L
q_{\text {conveção }}=\frac{\Delta T}{R}=\frac{\Delta T}{\frac{1}{h . A}} \quad d=2 rçã
q_{\text {conduçŏo }}=\frac{\Delta T}{R}=\frac{\Delta T}{\frac{\ln \left(\frac{r_{e}}{r_{i}}\right)}{2 \pi \cdot k \cdot L}} \quad q^{\prime}=\frac{q}{L}çŏ

Passo 1

O que o exercício pede: calcular o calor transferido por unidade de comprimento, isto é q' (em \mathrm{W/m}), entre o vapor a 300^\circ\mathrm{C} no interior da tubulação e o ar ambiente a 15^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (todos retirados do enunciado):
\begin{aligned} &\text{condutividade térmica do aço: } k_{\text{aço}}=15{,}1\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{diâmetro interior da tubulação: } d_i=8\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}\\\ &\text{diâmetro exterior da tubulação: } d_o=8{,}8\\ \mathrm{cm}=0{,}088\\ \mathrm{m}\\\ &\text{espessura do isolamento: } t_{\text{iso}}=3\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}\\\ &\text{condutividade térmica do isolamento: } k_{\text{iso}}=0{,}035\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{temperatura do vapor: } T_i=300^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{temperatura ambiente: } T_\infty=15^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{coeficiente convectivo interior: } h_i=150\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}\\\ &\text{coeficiente convectivo exterior: } h_o=25\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)} \end{aligned}éççâçãâçãé
Informações geométricas que vamos usar (convertidas do enunciado):
\begin{aligned} &r_i=\frac{d_i}{2}=0{,}04\\ \mathrm{m}\\\ &r_o=\frac{d_o}{2}=0{,}044\\ \mathrm{m}\\\ &r_e=r_o+t_{\text{iso}}=0{,}044+0{,}03=0{,}074\\ \mathrm{m} \end{aligned}

Passo 2

Estratégia de resolução (sem começar a calcular ainda): vamos modelar a transferência de calor como resistências térmicas em série na direção radial (cilíndrica). As resistências são, por ordem do interior para o exterior:
  1. convecção interna em torno da superfície interna do tubo, R_{\text{conv},i};
  2. condução radial através da parede de aço, R_{\text{cond, aço}}ç;
  3. condução radial através do isolamento, R_{\text{cond, iso}};
  4. convecção externa na superfície externa do isolamento, R_{\text{conv},o}.
A temperatura total entre o fluido e o ambiente é \Delta T=T_i-T_\infty. O calor por unidade de comprimento q' (em \mathrm{W/m}) é dado por
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}
onde
R_{\text{total}}=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond, aço}}+R_{\text{cond, iso}}+R_{\text{conv},o}.ç
Observação didática: para geometria cilíndrica as resistências de condução usam logaritmo natural por causa da variação da área lateral com o raio; já as resistências de convecção usam a área lateral A=2\pi r L. Como queremos o calor por unidade de comprimento, podemos tomar L=1\\ \mathrm{m} e trabalhar com resistências por metro.

Passo 3

Cálculo das áreas laterais (por unidade de comprimento L=1\\ \mathrm{m}) que aparecem nas resistências de convecção:
\begin{aligned} &A_i=2\pi r_i L=2\pi\cdot 0{,}04\cdot 1=0{,}08\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}251327\\ \mathrm{m^2},\\[4pt] &A_e=2\pi r_e L=2\pi\cdot 0{,}074\cdot 1=0{,}148\pi\\ \mathrm{m^2}\approx 0{,}464955\\ \mathrm{m^2}. \end{aligned}
Explicação: A=2\pi r L é a área lateral de um cilindro de raio r e comprimento L. Usamos L=1\\ \mathrm{m} para obter resistências por metro.]

Passo 4

Resistências de convecção (definição e cálculo). Fórmula geral:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A}
onde h é o coeficiente convectivo (em \mathrm{W/(m^2\cdot K)}) e A é a área por onde ocorre a convecção (em \mathrm{m^2}).
Aplicando ao caso interno:
R_{\text{conv},i}=\frac{1}{h_i\,A_i}=\frac{1}{150\cdot 0{,}08\pi}\approx \frac{1}{37{,}6991}\approx 0{,}0265309\\ \mathrm{K/W}.
Aplicando ao caso externo:
R_{\text{conv},o}=\frac{1}{h_o\,A_e}=\frac{1}{25\cdot 0{,}148\pi}\approx \frac{1}{11{,}6239}\approx 0{,}086000\\ \mathrm{K/W}.
Comentário didático: essas resistências representam a dificuldade da convecção em retirar/fornecer calor na superfície; quanto maior h ou maior A, menor a resistência.

Passo 5

Resistências de condução radial em uma casca cilíndrica (fórmula e significado). Para condução radial através de uma parede cilíndrica entre raios r_1 e r_2 com condutividade k e comprimento L,
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L}.
Aqui R_{\text{cond}} tem unidades \mathrm{K/W} e cresce com o logaritmo da razão de raios, porque a área lateral varia com o raio.
Aplicamos para a parede de aço ( r_1=r_i, r_2=r_o, k=k_{\text{aço}}ç, L=1\\ \mathrm{m}):
R_{\text{cond, aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{aço}}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}044}{0{,}04}\right)}{2\pi\cdot 15{,}1}.çç
Calculando os valores:
\ln\!\left(\frac{0{,}044}{0{,}04}\right)=\ln(1{,}1)\approx 0{,}09531018,
2\pi k_{\text{aço}}=2\pi\cdot 15{,}1\approx 94{,}867,ç
R_{\text{cond, aço}}\approx \frac{0{,}09531018}{94{,}867}\approx 0{,}0010047\\ \mathrm{K/W}.ç

Passo 6

Resistência de condução no isolamento ( r_1=r_o, r_2=r_e, k=k_{\text{iso}}):
R_{\text{cond, iso}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_e}{r_o}\right)}{2\pi k_{\text{iso}}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}074}{0{,}044}\right)}{2\pi\cdot 0{,}035}.
Calculando:
\frac{r_e}{r_o}=\frac{0{,}074}{0{,}044}\approx 1{,}681818\quad\Rightarrow\quad \ln\!\left(\frac{r_e}{r_o}\right)\approx 0{,}5198599,
2\pi k_{\text{iso}}=2\pi\cdot 0{,}035\approx 0{,}2199115,
R_{\text{cond, iso}}\approx \frac{0{,}5198599}{0{,}2199115}\approx 2{,}36496\\ \mathrm{K/W}.
Comentário didático: note que o isolamento tem baixa condutividade ( k_{\text{iso}} pequeno), então sua resistência domina o conjunto — é o principal responsável por limitar a perda de calor.

Passo 7

Somando todas as resistências para obter R_{\text{total}}:
\begin{aligned} R_{\text{total}}&=R_{\text{conv},i}+R_{\text{cond, aço}}+R_{\text{cond, iso}}+R_{\text{conv},o}\\[4pt] &\approx 0{,}0265309+0{,}0010047+2{,}36496+0{,}086000\\[4pt] &\approx 2{,}478496\\ \mathrm{K/W}. \end{aligned}ç]

Passo 8

Cálculo final do calor por unidade de comprimento. A diferença de temperatura é
\Delta T=T_i-T_\infty=300-15=285\\ \mathrm{K}.
Usando
q'=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}
temos
q'\approx \frac{285}{2{,}478496}\approx 114{,}96\\ \mathrm{W/m}.
Interpretação rápida: com esse isolamento e esses coeficientes convectivos, a perda é pequena (da ordem de 10^2\\ \mathrm{W/m}); a grande resistência do isolamento reduz bastante o fluxo.

Resposta

q'\approx 114{,}96\\ \mathrm{W/m}

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