A energia de um sistema de
íons magnéticos localizados a temperatura
na presença de uma campo
pode ser escrita na forma
, onde os parâmetros
e
são positivos e a variável
pode assumir os valores
ou +1 , para qualquer sítio
.
a) Obtenha a função de partição
do sistema.
b) Obtenha expressões para a energia interna, magnetização e entropia por sítio. Para o campo
nulo, esboce gráficos da energia interna, magnetização e entropia contra a temperatura, indicando o comportamento destas grandezas nos limites
e
.
a) Obtenha a função de partição
b) Obtenha expressões para a energia interna, magnetização e entropia por sítio. Para o campo
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de
spins-1
com hamiltoniana
onde
,
e a temperatura é
. Vamos usar a definição de partição
e depois obter as grandezas termodinâmicas por sítio: energia interna
, magnetização
e entropia
. Finalmente faremos
e estudaremos os limites
e
.
Passo 2
Como os sítios são independentes, a partição fatora em
onde
Reagrupando os termos
em cosseno hiperbólico, obtemos
logo
Passo 3
Definimos as quantidades por sítio:
Calculando
e
achamos
Passo 4
Para
temos
,
e
Nos limites:
-
:; ;⇒; , , . -
:; ;⇒; , , .
Passo 5
Gráficos qualitativos para
versus
:
-
cresce monotonamente de em até em , com curva de forma de “Fermi-Dirac suave”. -
para todo . -
cresce de em até em , aproximando-se assintoticamente.
Resposta
a)
b) Por sítio, com
:
Para
:
com
,
em
e
,
em
.