A energia de um sistema de N íons magnéticos localizados a temperatura T na presença de uma campo H pode ser escrita na forma \mathcal{H}=D \sum_{i=1}^{N} S_{i}^{2}-H \sum_{i=1}^{N} S_{i}, onde os parâmetros D e H são positivos e a variável S_{i} pode assumir os valores -1,0 ou +1 , para qualquer sítio i.
a) Obtenha a função de partição Z(T, H, D) do sistema.
b) Obtenha expressões para a energia interna, magnetização e entropia por sítio. Para o campo H nulo, esboce gráficos da energia interna, magnetização e entropia contra a temperatura, indicando o comportamento destas grandezas nos limites T \rightarrow 0 e T \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de N spins-1 S_i=-1,0,+1 com hamiltoniana
\mathcal{H}=D\sum_{i=1}^N S_i^2 \;-\;H\sum_{i=1}^N S_i,
onde D>0, H>0 e a temperatura é T. Vamos usar a definição de partição
Z(T,H,D)=\sum_{\{S_i\}}e^{-\beta\mathcal{H}},\quad \beta=\frac{1}{k_B T},
e depois obter as grandezas termodinâmicas por sítio: energia interna u, magnetização m e entropia s. Finalmente faremos H=0 e estudaremos os limites T\to0 e T\to\infty.

Passo 2

Como os sítios são independentes, a partição fatora em
Z(T,H,D)=\bigl[Z_1(T,H,D)\bigr]^N,
onde
Z_1=\sum_{S=-1}^{1}e^{-\beta\bigl(DS^2 - H S\bigr)} =e^{-\beta(D\cdot1^2 - H\cdot1)} \;+\;e^{-\beta(D\cdot0^2 - H\cdot0)}\;+\;e^{-\beta(D\cdot1^2 + H\cdot1)}.
Reagrupando os termos S=\pm1 em cosseno hiperbólico, obtemos
Z_1=1 + 2\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}\bigl(\beta H\bigr),
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\boxed{Z(T,H,D)=\bigl[\,1 + 2\,e^{-D/(k_BT)}\operatorname{cosh}\bigl(H/(k_BT)\bigr)\bigr]^N.}

Passo 3

Definimos as quantidades por sítio:
u=-\frac{\partial\ln Z_1}{\partial\beta}, \quad m=\frac{1}{\beta}\frac{\partial\ln Z_1}{\partial H}, \quad s=k_B\bigl(\ln Z_1 + \beta\,u\bigr).
Calculando \partial_\beta Z_1 e \partial_H Z_1 achamos
u =\frac{2D\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)\;-\;2H\,e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta H)} {1 + 2\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)},
m =\frac{2\,e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta H)} {1 + 2\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)},
s =k_B\Biggl[\ln\bigl(1+2e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)\bigr) +\beta\,\frac{2D\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)-2H\,e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta H)} {1 + 2\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)}\Biggr].

Passo 4

Para H=0 temos \operatorname{cosh}(\beta H)=1, \operatorname{sinh}(\beta H)=0 e
Z_1=1+2e^{-\beta D}, \quad u=\frac{2D\,e^{-\beta D}}{1+2e^{-\beta D}}, \quad m=0, \quad s=k_B\Bigl[\ln(1+2e^{-\beta D}) + \beta\,\frac{2D\,e^{-\beta D}}{1+2e^{-\beta D}}\Bigr].
Nos limites:
  • T\to0 \beta\to\infty:; e^{-\beta D}\to0;⇒; u\to0, m=0, s\to0.
  • T\to\infty \beta\to0:; e^{-\beta D}\to1;⇒; u\to\frac{2D}{3}, m=0, s\to k_B\ln3.

Passo 5

Gráficos qualitativos para H=0 versus T:
  • u(T) cresce monotonamente de 0 em T=0 até \tfrac{2D}{3} em T\to\infty, com curva de forma de “Fermi-Dirac suave”.
  • m(T)=0 para todo T.
  • s(T) cresce de 0 em T=0 até k_B\ln3 em T\to\infty, aproximando-se assintoticamente.

Resposta

a)
Z(T,H,D)=\bigl[\,1 + 2\,e^{-D/(k_BT)}\operatorname{cosh}\tfrac{H}{k_BT}\bigr]^N.
b) Por sítio, com \beta=1/(k_BT):
u =\frac{2D\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)\;-\;2H\,e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta H)} {1 + 2\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)},
m =\frac{2\,e^{-\beta D}\operatorname{sinh}(\beta H)} {1 + 2\,e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)},
s =k_B\Bigl[\ln\bigl(1+2e^{-\beta D}\operatorname{cosh}(\beta H)\bigr) +\beta\,u\Bigr].
Para H=0:
u=\frac{2D\,e^{-D/(k_BT)}}{1+2e^{-D/(k_BT)}},\quad m=0,\quad s=k_B\Bigl[\ln(1+2e^{-D/(k_BT)})+\frac{2D}{k_BT}\frac{e^{-D/(k_BT)}}{1+2e^{-D/(k_BT)}}\Bigr],
com u\to0, s\to0 em T\to0 e u\to2D/3, s\to k_B\ln3 em T\to\infty.

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