Na difração de fenda única, qual é o efeito que se obtém ao aumentar
o comprimento de onda

Passo 1

O enunciado pergunta: “Na difração de fenda única, qual é o efeito que se obtém ao aumentar o comprimento de onda?”\n
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):\n
  • Trata-se de uma fenda única de largura conhecida (vou chamar de \,a\,).\n
  • Há uma tela a uma distância \,L\, da fenda onde o padrão de difração aparece.\n
  • A variável que vamos aumentar é o comprimento de onda da luz, que vou chamar de \,\lambda\,.\n
  • A pergunta pede o efeito (ou seja, o que muda no padrão de difração) quando \,\lambda\, aumenta.\n

Passo 2

Primeiro vamos escrever a relação básica que nos diz onde aparecem os mínimos (os entalhes escuros) do padrão de difração por uma fenda única. Essa relação é:
a \sin\theta = m \lambda
onde:\n
  • \,a\, é a largura da fenda;\n
  • \,\theta\, é o ângulo medido a partir do eixo central (ângulo de difração) até o mínimo de ordem \,m\,;\n
  • \,m\, é um inteiro não nulo ( m=\pm1,\pm2,\dots);\n
  • \,\lambda\, é o comprimento de onda.\n\n
    Explicação didática dessa fórmula: imagine a fenda dividida em partes; as ondas emitidas dessas partes interferem. Para que se forme um mínimo bem definido, a diferença de caminho entre ondas vindas de pontos opostos da fenda deve ser um número inteiro de comprimentos de onda, o que leva à condição acima. Não precisa decorar a derivação inteira para a prova, mas é importante entender que os mínimos são proporcionais a \lambda.

Passo 3

Para a maioria dos problemas de prova usamos a aproximação de pequenos ângulos (válida quando a tela está longe e \theta é pequeno). Nessa aproximação podemos escrever \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta (em radianos). A posição vertical y_m do mínimo de ordem m na tela (que está a distância \,L\,) é:
y_m \approx L \tan\theta \approx L \theta \approx L \frac{m\lambda}{a}
ou seja,
y_m \approx \frac{m \lambda L}{a}.
Logo os mínimos (e, por consequência, os máximos) afastam‑se do centro linearmente com \lambda. Isso já nos dá a ideia principal: se \lambda aumenta, os mínimos vão para posições y_m maiores — o padrão se espalha.

Passo 4

Particularmente, a largura angular do máximo central (do primeiro mínimo a -primeiro mínimo) é aproximadamente
\Delta \theta_{\text{central}} \approx 2\frac{\lambda}{a},
e a largura linear na tela é
\Delta y_{\text{central}} \approx 2\frac{\lambda L}{a}.
Aqui:\n
  • \Delta \theta_{\text{central}} é a largura em ângulo do pico central;\n
  • \Delta y_{\text{central}} é a largura na tela entre os dois primeiros mínimos.\n\n
    Conclusão simples dessa fórmula: \Delta \theta_{\text{central}} e \Delta y_{\text{central}} aumentam quando \lambda aumenta (mantendo a e L fixos). Portanto o máximo central fica mais largo.

Passo 5

Para entender também a forma do envelope de intensidade, a expressão precisa (para intensidade em função de \theta) é
I(\theta)=I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2,
com
\beta=\frac{\pi a \sin\theta}{\lambda},
onde \,I_0\, é a intensidade no centro ( \theta=0). Explicando: o padrão é uma função tipo “sinc” ao quadrado; \beta envolve \lambda no denominador. Se \lambda aumenta, para o mesmo \theta o valor de \beta diminui, o que faz a função \left(\dfrac{\sin\beta}{\beta}\right)^2 variar mais lentamente com \theta. Isso corresponde a máximos mais largos e lóbulo central mais espalhado (menos “afiado”).

Passo 6

Resumo dos efeitos físicos e práticos ao aumentar \lambda (mantendo fenda \,a\, e distância \,L\, fixas):\n
  • As franjas (máximos e mínimos) se afastam do centro: as posições \,y_m\sim m\lambda L/a\, crescem com \lambda.\n
  • O máximo central fica mais largo: \,\Delta y_{\text{central}}\sim 2\lambda L/a\, aumenta com \lambda.\n
  • As franjas ficam menos nítidas (o envelope fica mais largo e os máximos secundários ficam mais espaçados e menos intensos em contraste relativo).\n
  • Se \lambda se aproxima ou excede a ordem de grandeza da largura da fenda \,a\,, a difração se torna muito pronunciada e o padrão pode cobrir praticamente toda a tela.\n
  • Em termos práticos: luz de maior comprimento de onda (por exemplo, vermelho em vez de azul) produz um padrão de difração mais espalhado.

Passo 7

Exemplo numérico simples para fixar a ideia (fazendo passo‑a‑passo, sem calculadora complexa): suponha \,a=0{,}10\\ \text{mm}=1{,}0\!\times\!10^{-4}\\ \text{m} e \,L=1{,}0\\ \text{m}.\n
Se \,\lambda=500\\ \text{nm}=5{,}0\!\times\!10^{-7}\\ \text{m}, a largura do máximo central é aproximadamente
\Delta y_{\text{central}}\approx 2\frac{\lambda L}{a}=2\frac{5{,}0\times10^{-7}\cdot 1}{1{,}0\times10^{-4}}=2\cdot5{,}0\times10^{-3}=1{,}0\times10^{-2}\\ \text{m}=1{,}0\\ \text{cm}.\n
Se dobrarmos o comprimento de onda para \,\lambda=1000\\ \text{nm}, a largura dobra para \approx 2{,}0\\ \text{cm}. Isso ilustra que aumentar \lambda aumenta diretamente a largura do padrão.

Passo 8

Palavras de incentivo: sei que muita fórmula assusta, mas a ideia chave é simples e fácil de lembrar na prova: aumentar o comprimento de onda faz o padrão de difração “abrir” — as franjas ficam mais afastadas e o máximo central mais largo. Decore a relação dos mínimos a\sin\theta=m\lambda e a expressão aproximada y_m\approx m\lambda L/a; com isso você já resolve a maioria das questões rápidas.

Resposta

Ao aumentar o comprimento de onda \lambda: o padrão de difração se alarga — os mínimos e máximos movem‑se para posições maiores ( y_m\sim m\lambda L/a), o máximo central torna‑se mais largo ( \Delta y_{\text{central}}\sim 2\lambda L/a) e as franjas ficam mais espalhadas e menos nítidas.

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