Critério da comparação: Dadas
e
duas séries com
, para
,
. Então:
(a) Se
converge então
converge;
(b) Se
diverge então
diverge.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado apresenta duas séries
e
com termos não-negativos tais que
para todo
. Queremos provar o Critério da Comparação: (a) convergência de
implica convergência de
; (b) divergência de
implica divergência de
.
Passo 2
Definimos as somas parciais
Como
para todo
, somando de
até
obtemos
Passo 3
Podemos então escrever para
:
Chamando de
e lembrando que
, temos
onde
é constante.
Passo 4
Supondo que
converge, a sequência
é crescente e limitada por algum
. Então
também é crescente e fica limitada superiormente por
. Pelo Teorema de convergência de sequências monótonas,
converge, logo
converge, provando (a).
Para (b), basta usar o contrarrecíproco de (a): se
diverge, então não pode ocorrer convergência de
, pois isso implicaria convergência de
. Logo
diverge, provando (b).
Resposta
Ambas as afirmações são verdadeiras, conforme demonstrado nos passos anteriores.