Critério da comparação: Dadas sumn=1^infty an e sumn=1^infty bn duas séries com 0 <= an <= bn, para n >= k, k in N. Então:
(a) Se sumn=1^infty bn converge então sumn=1^infty an converge;
(b) Se sumn=1^infty an diverge então sumn=1^infty bn diverge.

Passo 1

O enunciado apresenta duas séries sumn=1^inftyan e sumn=1^inftybn com termos não-negativos tais que 0 <= an <= bn para todo n>= k. Queremos provar o Critério da Comparação: (a) convergência de sum bn implica convergência de sum an; (b) divergência de sum an implica divergência de sum bn.

Passo 2

Definimos as somas parciais
AN = sumn=1^N an, BN = sumn=1^N bn
Como an<= bn para todo n>= k, somando de n=k até N obtemos
sumn=k^N an <= sumn=k^N bn

Passo 3

Podemos então escrever para N>= k:
AN = sumn=1^k-1an + sumn=k^N an <= sumn=1^k-1an + sumn=k^N bn
Chamando de C=sumn=1^k-1an e lembrando que BN=sumn=1^k-1bn+sumn=k^N bn, temos
AN <= C + (BN - Bk-1) = BN + (C - Bk-1) = BN + D,
onde D é constante.

Passo 4

Supondo que sum bn converge, a sequência (BN) é crescente e limitada por algum L. Então (AN) também é crescente e fica limitada superiormente por L+D. Pelo Teorema de convergência de sequências monótonas, (AN) converge, logo sum an converge, provando (a).
Para (b), basta usar o contrarrecíproco de (a): se sum an diverge, então não pode ocorrer convergência de sum bn, pois isso implicaria convergência de sum an. Logo sum bn diverge, provando (b).

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras, conforme demonstrado nos passos anteriores.

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