Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando
. O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar testar se o valor depende do caminho ou usar coordenadas polares para ver se dá sempre o mesmo resultado.
Passo 2
Uma maneira comum de testar dependência de caminho é escolher retas do tipo
. Substituindo na função:
$$
f(x,m x)=\frac{(m x),x2}{x2+(m x)^2}=\frac{m x3}{x2(1+m^2)}=\frac{m x}{1+m^2}$$
Quando , esse quociente tende a zero para todo
. Então em todas as retas o limite é zero.
Quando
Passo 3
Para ficar mais geral, usamos coordenadas polares:
,
. Aí
Aqui vemos que
, pois
.
Passo 4
Como
quando
, concluímos que
independentemente de
. Logo o limite existe e vale zero.
Resposta
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