Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) y x^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis f(x,y)=dfracy,x^2x^2+y^2 quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar testar se o valor depende do caminho ou usar coordenadas polares para ver se dá sempre o mesmo resultado.

Passo 2

Uma maneira comum de testar dependência de caminho é escolher retas do tipo y=m x. Substituindo na função:
$$
f(x,m x)=\frac{(m x),x2}{x2+(m x)^2}=\frac{m x3}{x2(1+m^2)}=\frac{m x}{1+m^2}$$
Quando f(x,m x)=(m x),x^2x^2+(m x)^2=m x^3x^2(1+m^2)=m x1+m^2, esse quociente tende a zero para todo xto0. Então em todas as retas o limite é zero.

Passo 3

Para ficar mais geral, usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Aí
f(r,theta)=(rsintheta),(rcostheta)^2r^2=r^3sinthetacos^2thetar^2=r,sintheta,cos^2theta
Aqui vemos que |f(r,theta)|<= r, pois |sinthetacos^2theta|<=1.

Passo 4

Como r=raizx^2+y^2to0 quando (x,y)to(0,0), concluímos que f(x,y)to0 independentemente de theta. Logo o limite existe e vale zero.

Resposta

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