4-Critério do limite: Dadas
e
duas séries com
, para
, seja
. Então:
(a) Se
, ou ambas as séries são convergentes ou ambas são divergentes;
(b) Se
e
diverge então
diverge;
© Se
e
converge então
converge.
(a) Se
(b) Se
© Se
Passo 1
O enunciado apresenta o Critério do Limite (Limit Comparison Test) para séries de termos positivos. Temos duas séries
e
com
a partir de algum
. Definimos o limite
e queremos provar as três consequências sobre convergência e divergência.
Passo 2
Para provar (a), suponha
. Então, dado
, existe
tal que para todo
temos
Multiplicando por
obtém-se
$$(L-\varepsilon)c_n < a_n < (L+\varepsilon)c_n.
$$
Como , essas desigualdades mostram que
e
são comparáveis por constantes positivas. Logo, se
converge, pelo Critério da Comparação Direta (maiorante),
também converge; e se
diverge, pelo Comparação Direta (menorante),
diverge. Assim ambas as séries têm o mesmo comportamento.
Como
Passo 3
Para provar (b), suponha
e que
diverge. Pelo limite infinito, para qualquer constante
existe
tal que para todo
Escolhendo
obtemos
para
. Como
diverge, pelo Critério da Comparação Direta (menorante) vemos que
diverge.
Passo 4
Para provar ©, suponha
e que
converge. Pelo limite zero, dado
existe
tal que para todo
Assim
para
. Como
converge, pelo Critério da Comparação Direta (majorante) com a constante
, concluímos que
também converge.
Resposta
(a) Se
, então
e
convergem ou divergem simultaneamente.
(b) Se e
diverge, então
diverge.
© Se e
converge, então
converge.
(b) Se
© Se