4-Critério do limite: Dadas sumn=1^infty an e sumn=1^infty cn duas séries com an, cn>0, para n >= k, k in N, seja L=lim n infty ancn. Então:
(a) Se L>0, L in R, ou ambas as séries são convergentes ou ambas são divergentes;
(b) Se L=+infty e sumn=1^infty cn diverge então sumn=1^infty an diverge;
© Se L=0 e sumn=1^infty cn converge então sumn=1^infty an converge.

Passo 1

O enunciado apresenta o Critério do Limite (Limit Comparison Test) para séries de termos positivos. Temos duas séries sum an e sum cn com an, cn>0 a partir de algum n>= k. Definimos o limite L = limntoinfty ancn e queremos provar as três consequências sobre convergência e divergência.

Passo 2

Para provar (a), suponha 0< L. Então, dado varepsilonin(0,L), existe N tal que para todo n> N temos
L-varepsilon
Multiplicando por cn>0 obtém-se
$$(L-\varepsilon)c_n < a_n < (L+\varepsilon)c_n.
$$
Como (L-varepsilon)cn < an < (L+varepsilon)cn , essas desigualdades mostram que L-varepsilon>0 e an são comparáveis por constantes positivas. Logo, se cn converge, pelo Critério da Comparação Direta (maiorante), sum cn também converge; e se sum an diverge, pelo Comparação Direta (menorante), sum cn diverge. Assim ambas as séries têm o mesmo comportamento.

Passo 3

Para provar (b), suponha L=+infty e que sum cn diverge. Pelo limite infinito, para qualquer constante M>0 existe N tal que para todo n>N
ancn>M
Escolhendo M=1 obtemos an>cn para n>N. Como sumn=1^infty cn diverge, pelo Critério da Comparação Direta (menorante) vemos que sum an diverge.

Passo 4

Para provar ©, suponha L=0 e que sum cn converge. Pelo limite zero, dado varepsilon>0 existe N tal que para todo n>N
ancn
Assim an para n>N. Como sum cn converge, pelo Critério da Comparação Direta (majorante) com a constante varepsilon, concluímos que sum an também converge.

Resposta

(a) Se 0< L, então sum an e sum cn convergem ou divergem simultaneamente.
(b) Se L=+infty e sum cn diverge, então sum an diverge.
© Se L=0 e sum cn converge, então sum an converge.

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