Mostre que os limites seguintes nāo existem
lim (x, y) (0,0) x+y2 x-y

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x+y2x-y e queremos estudar seu limite em (0,0). Esse conteúdo trata de limites de funções de duas variáveis e vamos usar o teste de dependência de caminho para verificar se o limite existe.

Passo 2

Considere aproximar (x,y) de (0,0) ao longo da reta y=mx, com m constante. Substituindo na função, obtemos:
[\frac{x + m x}{2x - m x} = \frac{x(1+m)}{x(2-m)} = \frac{1+m}{2-m}.]

Passo 3

Observamos que o valor 1+m2-m depende do parâmetro m. Para caminhos diferentes, o resultado é diferente. Por exemplo, se m=0 temos tfrac1+02-0=tfrac12, e se m=1 temos tfrac1+12-1=2. Logo, não há um único valor limite.

Resposta

O limite não existe, pois depende do caminho de aproximação.

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