(Critério de divisibilidade por 4) Considerando um número n expresso na base 10 como n=a_{\ell} \ldots a_{3} a_{2} a_{1} a_{0} com \ell \geqslant 2. Mostre que neste caso vale:
(a) se 4 \mid a_{1} a_{0} então 4 \mid n ; \quad (b) se 4 \mid n então 4 \mid a_{1} a_{0}. FIM! Boa Prova

Passo 1

O enunciado trata do critério de divisibilidade por 4 para um número n dado em base 10 como
n = a_{\ell}a_{\ell-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0},
com \ell\ge2. Queremos mostrar que basta verificar a divisibilidade por 4 dos dois últimos algarismos, isto é, do número 10a_{1}+a_{0}.

Passo 2

Escrevemos n em função dos dois últimos dígitos e do que sobra à esquerda. Seja
m = a_{\ell}a_{\ell-1}\dots a_{2}
interpretado como um número em base 10. Então
n = 10^2 m + (10a_{1}+a_{0}) = 100\,m + (10a_{1}+a_{0}).
Observe que 100\,m é múltiplo de 4, pois 100=4\cdot25.

Passo 3

(a) Suponha que 4\mid(10a_{1}+a_{0}). Então tanto 100\,m quanto 10a_{1}+a_{0} são múltiplos de 4. Logo
n = 100\,m + (10a_{1}+a_{0})
é soma de múltiplos de 4, portanto 4\mid n.

Passo 4

(b) Suponha agora que 4\mid n. Como já vimos, 100\,m é múltiplo de 4, então da relação
n = 100\,m + (10a_{1}+a_{0})
concluímos que o termo (10a_{1}+a_{0}) também deve ser múltiplo de 4. Portanto 4\mid(10a_{1}+a_{0}).

Resposta

Com isso, mostramos que
(a) se 4\mid a_{1}a_{0} então 4\mid n e
(b) se 4\mid n então 4\mid a_{1}a_{0},
estabelecendo o critério de divisibilidade por 4 em base 10.

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