Use o principio da induçâo matemática para provar que, para todo n \in \mathrm{~N}, vale
0+2+4+6+\cdots+2 n-n(n+1)

Passo 1

Vamos provar por indução em n a afirmação
P(n):\quad 0 + 2 + 4 + \cdots + 2n - n(n+1) = 0.
O conteúdo usado é o princípio da indução matemática, que consiste em mostrar que (i) P(0) é verdadeira e (ii) de P(n) verdadeira segue P(n+1) verdadeira.

Passo 2

(Base da indução) Para n=0 temos
0+2\cdot0-0\,(0+1)=0-0=0,
logo P(0) é verdadeira.

Passo 3

(Passo indutivo) Suponha que P(n) seja verdadeira, isto é,
0+2+4+\cdots+2n = n(n+1).
Precisamos mostrar que
0+2+4+\cdots+2n+2(n+1) - (n+1)\bigl((n+1)+1\bigr)=0.
Pela hipótese indutiva,
0+2+\cdots+2n+2(n+1) = n(n+1) + 2(n+1) = (n+1)\bigl(n+2\bigr).
Subtraindo (n+1)(n+2) de si mesmo, obtemos zero, ou seja, P(n+1) vale.

Resposta

Portanto, por indução matemática, para todo n\in\mathbb{N}
0+2+4+\cdots+2n - n(n+1) = 0.

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