(Classes de equivalência e construção dos inteiros) Seja a relação \sim \mathrm{em} \mathrm{N} \times \mathrm{N} definida por (a, b) \sim(c, d) \quad: \Longleftrightarrow a+d=b+c. Sejam os novos elementos de \mathbf{Z} dados por: 1_{\mathrm{Z}}:=[(1,0)] e -1_{\mathrm{z}}:=[(0,1)], e considere a operação de vezes \otimes definida como
[(a, b)] \otimes(c, d)]:=[(a c+b d, a d+b c)].
Mostre usando essas definições acima que vale -1_{\mathrm{Z}} \otimes-1_{\mathrm{Z}}=1_{\mathrm{Z}}.

Passo 1

O enunciado constrói os inteiros como classes de equivalência de pares (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N} pela relação
(a,b)\sim(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad a+d=b+c.
Define-se
1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)], \qquad -1_{\mathbb{Z}}=[(0,1)],
e a multiplicação \otimes entre classes por
[(a,b)]\otimes[(c,d)]=[(ac+bd,\;ad+bc)].
Queremos mostrar que
-1_{\mathbb{Z}}\otimes-1_{\mathbb{Z}}=1_{\mathbb{Z}}.

Passo 2

Aplicando a definição de \otimes com -1_{\mathbb{Z}}=[(0,1)], temos
[(0,1)]\otimes[(0,1)] = \bigl[(0\cdot0 + 1\cdot1,\;0\cdot1 + 1\cdot0)\bigr] = [(1,0)].

Passo 3

Pela definição de 1_{\mathbb{Z}}, temos [(1,0)]=1_{\mathbb{Z}}. Portanto
-1_{\mathbb{Z}}\otimes-1_{\mathbb{Z}}=[(1,0)]=1_{\mathbb{Z}}.

Resposta

-1_{\mathbb{Z}}\otimes-1_{\mathbb{Z}}=1_{\mathbb{Z}}.

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