Um critério de divisibilidade por 7. Seja n um inteiro positivo e dk dk-1 ldots d1 d0 sua representação na base 10. Defina
f(n)=dk dk-1 ldots d1-2 d0
(Por exemplo f(104)=10-2 cdot 4=10-8=2.) Mostre que n é divisível por 7 se, e somente se, f(n) é divisível por 7 . Use este critério para saber se 7 divide 7875 .
Sugestão: Mostre que
10 x+y equiv 0(bmod 7)
se, e somente se,
x-2 y equiv 0(bmod 7)

Passo 1

O enunciado define um critério de divisibilidade por 7 usando a função f(n)=dkdots d1-2d0. Estamos na matéria de aritmética modular e vamos usar propriedades de congruências para mostrar que nequiv0pmod7 se e somente se f(n)equiv0pmod7.

Passo 2

Se escrevermos n=10x+y, com x=dkdots d1 e y=d0, temos que
$$
n=10x+y. n=10x+yóã
10x+y\equiv3x+y\pmod7.
$$

Passo 3

Agora queremos mostrar que
3x+yequiv0pmod7Long<=ftrightarrow x-2yequiv0pmod7
Basta multiplicar 3x+yequiv0 por 5 (que é inverso de 3 módulo 7):
5(3x+y)=15x+5yequiv x-2ypmod7,
pois 15equiv1 e 5equiv-2 módulo 7. Logo as duas congruências são equivalentes.

Passo 4

Portanto concluímos que
10x+yequiv0pmod7Long<=ftrightarrow x-2yequiv0pmod7,
o que é exatamente dizer
nequiv0pmod7Long<=ftrightarrow f(n)equiv0pmod7

Passo 5

Para aplicar ao número 7875, calculamos iterativamente:
  1. f(7875)=787-2cdot5=787-10=777.
  2. f(777)=77-2cdot7=77-14=63.
  3. f(63)=6-2cdot3=6-6=0.
    Como chegamos a 0 e 0equiv0pmod7, segue que 7875 é divisível por 7.

Resposta

7875 é divisível por 7.

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