Calcule
em coordenadas cilíndricas, onde é a região limitada pelo plano
, isto é,
, e pelo paraboloide
e pelo cilindro
。
Passo 1
O problema pede para calcular a integral tripla
, onde
é a região limitada pelo plano
, pelo paraboloide
e pelo cilindro
. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar usar a fórmula de conversão de
para
e o jacobiano.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
,
,
e o elemento de volume vale
.
Precisamos fixar os limites de integração: vai de
a
,
vai de
a
(pela restrição do cilindro
), e para cada
,
vai de
(plano) até
(paraboloide).
Precisamos fixar os limites de integração:
Passo 3
Montamos então a integral em cilindricas e integramos primeiro em
:
Primeiro passo em
:
Substituindo e integrando em
e
:
Por fim, integrando em
obtemos: