Calcule I=integral triplaQ z d V em coordenadas cilíndricas, onde é a região limitada pelo plano x y, isto é, z=0, e pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2= a^2

Passo 1

O problema pede para calcular a integral tripla I=integral triplaQ z,dV, onde Q é a região limitada pelo plano z=0, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro x^2+y^2=a^2. O conteúdo é integração em coordenadas cilíndricas, e vamos precisar usar a fórmula de conversão de (x,y,z) para (r,theta,z) e o jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o elemento de volume vale dV=r,dr,dtheta,dz.
Precisamos fixar os limites de integração: theta vai de 0 a 2pi, r vai de 0 a a (pela restrição do cilindro r=a), e para cada r, z vai de 0 (plano) até r^2 (paraboloide).

Passo 3

Montamos então a integral em cilindricas e integramos primeiro em z:
I=integral0^2piintegral0^aintegral0^r^2z,r,dz,dr,dtheta
Primeiro passo em z:
integral0^r^2z,dz=(r^2)^22=r^42
Substituindo e integrando em r e theta:
I=integral0^2piintegral0^ar^42,r,dr,dtheta =integral0^2pi(12integral0^ar^5,dr)dtheta =integral0^2pia^612,dtheta
Por fim, integrando em theta obtemos:
I=2picdota^612=pi a^66

Resposta

pi a^66

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