Critério da raíz: Seja
com
, para
. Considere
. Então:
(a) Se
, a série é convergente;
(b) Se
, a série é divergente;
© Se
, o critério é inconclusivo em relação à convergência da série.
(a) Se
(b) Se
© Se
Passo 1
Estamos lidando com o Critério da Raiz para séries numéricas positivas, que faz parte do estudo de testes de convergência de séries infinitas. Para provar esse critério, vamos usar noções de limite de sequência, comparação com séries geométricas e o Teste da Divergência.
Definimos . Esse limite nos informa, a grandes valores de
, como “cresce” a raiz
-ésima de
. A ideia é comparar
com potência de um número fixo baseado em
.
Definimos
Passo 2
Caso
: escolhemos um
tal que
. Pela definição de limite, existe
de modo que para todo
valerá
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos
E como
é uma série geométrica convergente (razão
), pela comparação direta concluímos que
também converge.
Passo 3
Caso
: escolhemos um
tal que
. Pelo limite, existe
tal que para todo
Elevando à potência
:
Como
, a série geométrica
diverge (os termos não vão a zero e o somatório explode). Logo, pela comparação direta (ou pelo Teste da Divergência, já que
), a série
diverge.
Passo 4
Se
, o teste não fornece informação suficiente: há séries convergentes com
(por exemplo,
) e séries divergentes com o mesmo limite (por exemplo,
). Portanto, o critério é inconclusivo quando
.
Resposta
Prova completa do Critério da Raiz: (a) para
há convergência por comparação com série geométrica convergente; (b) para
há divergência por comparação com série geométrica divergente; © para
o critério não decide.