Critério da raíz: Seja sumn=1^infty an com an>0, para n <= k. Considere L=lim n infty raiz[n]an. Então:
(a) Se L<1, a série é convergente;
(b) Se L>1, a série é divergente;
© Se L=1, o critério é inconclusivo em relação à convergência da série.

Passo 1

Estamos lidando com o Critério da Raiz para séries numéricas positivas, que faz parte do estudo de testes de convergência de séries infinitas. Para provar esse critério, vamos usar noções de limite de sequência, comparação com séries geométricas e o Teste da Divergência.
Definimos L=limntoinftyraiz[n]an. Esse limite nos informa, a grandes valores de n, como “cresce” a raiz n-ésima de an. A ideia é comparar an com potência de um número fixo baseado em L.

Passo 2

Caso L<1: escolhemos um r tal que L. Pela definição de limite, existe N de modo que para todo n>N valerá
raiz[n]an
Elevando ambos os lados à potência n, obtemos
an
E como sum r^n é uma série geométrica convergente (razão r<1), pela comparação direta concluímos que sum an também converge.

Passo 3

Caso L>1: escolhemos um R tal que 1. Pelo limite, existe M tal que para todo n>M
raiz[n]an>R
Elevando à potência n:
an>R^n
Como R>1, a série geométrica sum R^n diverge (os termos não vão a zero e o somatório explode). Logo, pela comparação direta (ou pelo Teste da Divergência, já que annotto0), a série sum an diverge.

Passo 4

Se L=1, o teste não fornece informação suficiente: há séries convergentes com limraiz[n]an=1 (por exemplo, an=1/n^2) e séries divergentes com o mesmo limite (por exemplo, an=1/n). Portanto, o critério é inconclusivo quando L=1.

Resposta

Prova completa do Critério da Raiz: (a) para L<1 há convergência por comparação com série geométrica convergente; (b) para L>1 há divergência por comparação com série geométrica divergente; © para L=1 o critério não decide.

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