Use o critério do limite para concluir que a série
converge (use como
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de séries numéricas, especificamente sobre convergência de séries. A tarefa é mostrar que a série
converge usando o critério do limite de comparação. Para isso, vamos comparar com a série
, que já sabemos que converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir. Basicamente, uma série
converge se a soma dos seus termos até o infinito resulta em um número finito. No nosso caso, queremos provar que a soma
dá um valor finito.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o critério do limite de comparação. Esse critério nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cujo comportamento já conhecemos. A ideia é calcular o limite do quociente dos termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Se
e a série
converge, então a série
também converge.
Passo 4
Vamos aplicar esse critério à nossa série. Aqui,
e
. Vamos calcular o limite:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite:
Passo 6
Pelo critério do limite de comparação, se
é um número positivo e finito, e a série
converge, então
também converge. No nosso caso,
, que é menor que um número positivo. Isso ainda nos indica que se a série
converge, então
também converge.
Passo 7
Como sabemos que a série
é uma série p com
, ela converge.
Resposta
Portanto, pela comparação pelo critério do limite, concluímos que a série
converge.