Use o critério do limite para concluir que a série sumn=2^infty 1n^2 ln (n) converge (use como sumn=2^infty cn=sumn=2^infty 1n^2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de séries numéricas, especificamente sobre convergência de séries. A tarefa é mostrar que a série sumn=2^infty 1n^2 ln(n) converge usando o critério do limite de comparação. Para isso, vamos comparar com a série sumn=2^infty 1n^2, que já sabemos que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série convergir. Basicamente, uma série sum an converge se a soma dos seus termos até o infinito resulta em um número finito. No nosso caso, queremos provar que a soma sumn=2^infty 1n^2 ln(n) dá um valor finito.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o critério do limite de comparação. Esse critério nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série cujo comportamento já conhecemos. A ideia é calcular o limite do quociente dos termos das duas séries quando n tende ao infinito:
L = limn to infty anbn
Se 0 < L < infty e a série sum bn converge, então a série sum an também converge.

Passo 4

Vamos aplicar esse critério à nossa série. Aqui, an = 1n^2 ln(n) e bn = 1n^2. Vamos calcular o limite:
L = limn to infty 1n^2 ln(n)1n^2 = limn to infty 1ln(n)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite:
L = limn to infty 1ln(n) = 0

Passo 6

Pelo critério do limite de comparação, se L é um número positivo e finito, e a série sum bn converge, então sum an também converge. No nosso caso, L = 0, que é menor que um número positivo. Isso ainda nos indica que se a série sum bn converge, então sum an também converge.

Passo 7

Como sabemos que a série sumn=2^infty 1n^2 é uma série p com p = 2 > 1, ela converge.

Resposta

Portanto, pela comparação pelo critério do limite, concluímos que a série sumn=2^infty 1n^2 ln(n) converge.

Exercícios relacionados