Quais critérios uma equação diferencial deve atender para ser considerada linear? Apresente um exemplo de uma equação diferencial linear e, em segunda, um exemplo de equação diferencial não linear, indicando ao menos um motivo para que ele seja classificada como não linear.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos os critérios que caracterizam uma equação diferencial como linear e, em seguida, darmos um exemplo de uma equação diferencial linear e outro de uma não linear, explicando por que o segundo não é linear.

Passo 2

Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se puder ser escrita na forma
an(x)y^(n) + an-1(x)y^(n-1) + dots + a1(x)y' + a0(x)y = g(x),
ou seja, as derivadas de y aparecem apenas com coeficientes que dependem exclusivamente da variável independente x (ou são constantes), e y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (exposto a 1). Não são permitidos termos como y^2, sin(y), yy' etc.

Passo 3

Um exemplo clássico de equação diferencial linear de primeira ordem é
y' - 2y = e^x
Aqui vemos que y’ e y aparecem só na primeira potência e os coeficientes ( -2 e o termo independente e^x) não dependem de y.

Passo 4

Como exemplo de equação não linear, podemos tomar
y' = y^2 + x
Ela é não linear porque há o termo y^2, ou seja, a solução aparece elevada a uma potência diferente de 1, violando o critério de linearidade.

Resposta

Critérios de linearidade de uma equação diferencial:
  1. As derivadas de y aparecem apenas na primeira potência (não há produtos entre y, y′, y″ etc.)
  2. Os coeficientes de y e de suas derivadas dependem somente da variável independente (x) ou são constantes.
Exemplo de equação diferencial linear:
y' - 2y = e^x
Exemplo de equação diferencial não linear:
y' = y^2 + x
Motivo de não linearidade: presença do termo y^2, que faz com que y apareça em potência maior que 1.

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