Qual é a forma normal de uma equação diferencial ordinária de ordem n ? Dê exemplos de equações diferenciais escritas no forma normal.

Passo 1

No primeiro passo, a gente resume o enunciado: precisamos dizer o que é a forma normal de uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n e, em seguida, dar exemplos escritos nessa forma.

Passo 2

Para escrever uma EDO em forma normal, a ideia é isolar a derivada de ordem mais alta. Ou seja, se a EDO tem ordem n, a gente reescreve tudo de modo a obter
y^(n) = fl(x, y, y', dots, y^(n-1)r)
Essa é a forma normal: a derivada de maior ordem fica sozinha no lado esquerdo, e no lado direito aparece uma função que envolve apenas x e derivadas de ordem inferior.

Passo 3

Agora, alguns exemplos práticos para fixar.

Passo 4

Exemplo de primeira ordem: comece com
y' + p(x),y = g(x)
e isole y’ para ficar na forma normal:
y' = g(x) - p(x),y

Passo 5

Exemplo de segunda ordem: pegue
y'' + a(x),y' + b(x),y = c(x)
e isolando y’’:
y'' = c(x) - a(x),y' - b(x),y

Passo 6

Por fim, um exemplo geral de ordem n: suponha uma EDO
y^(n) + sumk=0^n-1 ak(x),y^(k) = g(x)
colocando na forma normal, isolamos y^{(n)} e obtemos
y^(n) = g(x) - sumk=0^n-1 ak(x),y^(k)

Resposta

A forma normal de uma EDO de ordem n é
y^(n) = fl(x, y, y', dots, y^(n-1)r)
Exemplos:
y' = g(x) - p(x),y
y'' = c(x) - a(x),y' - b(x),y
y^(n) = g(x) - sumk=0^n-1 ak(x),y^(k)

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