Apresente a definição de Equação Diferencial. Faça breves comentários sobre o seu entendimento dessa definição.

Passo 1

O exercício pede para definirmos o que é uma equação diferencial e fazermos comentários breves sobre essa definição. Aqui o conteúdo é teoria de equações diferenciais, e vamos precisar lembrar o que são funções e derivadas para formular a definição.

Passo 2

Começamos apresentando a forma geral de uma equação diferencial ordinária de ordem n, que é uma relação entre a variável independente x, a função desconhecida y(x) e suas derivadas.

Passo 3

Escrevemos a definição formal usando a notação típica de equações diferenciais.

Passo 4

Por fim, fazemos comentários sobre o entendimento dessa definição, explicando de maneira informal como enxergamos o papel das equações diferenciais e por que elas são importantes para modelar fenômenos.

Resposta

Uma equação diferencial é uma relação que envolve uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas em relação a uma variável independente. De modo geral, uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser escrita como:
Fl(x,,y(x),,y'(x),,y''(x),dots, y^(n)(x)r)=0,
onde:
  • x é a variável independente;
  • y(x) é a função desconhecida;
  • y'(x),y''(x),dots,y^(n)(x) são as derivadas de y de primeira até ordem n;
  • F é uma função qualquer que define a relação.
Comentários sobre a definição:
  • Basicamente, em vez de relacionar apenas variáveis, a equação diferencial impõe uma lei que envolve a taxa de variação da função.
  • Na prática, essas equações aparecem em quase todas as áreas da engenharia e ciências exatas, porque modelam fenômenos que mudam no tempo ou no espaço (por exemplo, movimento de partículas, variação de temperatura ou propagação de ondas).
  • Meu entendimento é que, ao resolver uma equação diferencial, estamos descobrindo todas as funções cujo comportamento (suas derivadas) obedece à lei descrita pela equação. Esse processo de “descrever a derivada” e “integrar” para encontrar a função é o cerne do estudo de equações diferenciais.

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