A tabela abaixo mostra os números de peças produzido em uma fábrica em função de trabalhadores N° de peças 200, 400, 600, 800, 1000, 1200 Funcionários 4, 8, 12, 16, 20, 24 responda:
A) qual expressão relaciona o número de peças produzidas (N) em função do número de funcionários (n).
B) Utilizando a expressão encontrada no item anterior, descubra quantos funcionários serão necessários para produzir 2500 peças
C) as grandezas, números de peças produzidas e número de funcionários no problema em questão, são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta.
A) qual expressão relaciona o número de peças produzidas (N) em função do número de funcionários (n).
B) Utilizando a expressão encontrada no item anterior, descubra quantos funcionários serão necessários para produzir 2500 peças
C) as grandezas, números de peças produzidas e número de funcionários no problema em questão, são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra quantas peças uma fábrica produz dependendo de quantos funcionários estão trabalhando. A matéria que envolve aqui é de proporcionalidade, que nos ajuda a entender como duas grandezas se relacionam. Para resolver as partes A, B e C, vamos precisar usar conceitos de funções lineares e proporcionalidade direta.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados da tabela:
Número de Peças (N) | Número de Funcionários (n) |
---|---|
200 | 4 |
400 | 8 |
600 | 12 |
800 | 16 |
1000 | 20 |
1200 | 24 |
Passo 3
Observando os dados, percebemos que conforme aumentamos os funcionários, o número de peças também aumenta de forma constante. Isso indica que temos uma proporcionalidade direta entre as duas grandezas.
Passo 4
Para encontrar a expressão que relaciona o número de peças (N) com o número de funcionários (n), podemos usar a forma da função linear:
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade.
Passo 5
Vamos determinar o valor de $ k $. Pegamos dois pontos da tabela, por exemplo, quando $ n = 4 $ e $ N = 200 $:
Passo 6
Agora que temos o valor de $ k $, substituímos de volta na equação:
Passo 7
Pronto, temos a expressão que relaciona o número de peças produzidas com o número de funcionários.
Passo 8
Agora, para a parte B, queremos descobrir quantos funcionários são necessários para produzir 2500 peças usando a expressão que encontramos:
Passo 9
Resolvendo para $ n $:
Passo 10
Finalmente, para a parte C, precisamos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Como vimos, quando aumentamos o número de funcionários $ n $, o número de peças $ N $ também aumenta de forma direta, mantendo uma relação constante $ N = 50 \cdot n $.
Resposta
As grandezas número de peças produzidas e número de funcionários são diretamente proporcionais, pois ao aumentar o número de funcionários, o número de peças produzidas aumenta na mesma proporção.