Um cubo de 3 mm de aresta e constante dielétrica 4,6 é introduzido entre as placas de um capacitor de placas paralelas com ar como dielétrico. Se a área de cada placa do capacitor for 20 \mathrm{~cm}^{2} e a separação entre elas for 5 mm , calcule a capacitância desse capacitor com o cubo inserido totalmente.

Passo 1

O enunciado diz que temos um capacitor de placas paralelas com área de cada placa A=20\\ \mathrm{cm}^2 e separação d=5\\ \mathrm{mm}, todo preenchido por ar (constante dielétrica \varepsilon_r=1). Entre as placas é introduzido um cubo de aresta l=3\\ \mathrm{mm} e constante dielétrica \varepsilon_r=4{,}6, ocupando uma área A_d=l^2 e uma espessura d_d=l dentro dos 5\\ \mathrm{mm} de separação. O que sobra em ar tem espessura d_{\text{ar}}=d-d_d. Para resolver, vamos modelar a região sob o cubo como três capacitores em série (ar–dielétrico–ar) e a região restante das placas como um capacitor de ar puro; depois somamos em paralelo essas capacitâncias.

Passo 2

Calculamos as áreas e espessuras:
\displaystyle A=20\\ \mathrm{cm}^2=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2
\displaystyle A_d = l^2 = (3\times10^{-3}\\ \mathrm{m})^2 = 9{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2
\displaystyle A_{\text{rest}} = A - A_d = 2{,}0\times10^{-3} - 9{,}0\times10^{-6} =1{,}991\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2
\displaystyle d=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad d_d=3\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad d_{\text{ar}}=d-d_d=2\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Para simplificar, distribuímos o ar em duas camadas simétricas de 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m} cada.

Passo 3

Constante do vácuo \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Capacitâncias individuais sobre a área A_d:
\displaystyle C_{\text{ar1}} = \frac{\varepsilon_0\,A_d}{1{,}0\times10^{-3}},
\displaystyle C_{\text{di}} = \frac{\varepsilon_0\,\varepsilon_{r,\text{di}}\,A_d}{3{,}0\times10^{-3}},
\displaystyle C_{\text{ar2}} = \frac{\varepsilon_0\,A_d}{1{,}0\times10^{-3}}.
Substituindo:
C_{\text{ar1}}=C_{\text{ar2}} =\frac{8{,}85\times10^{-12}\cdot9{,}0\times10^{-6}}{1{,}0\times10^{-3}} =7{,}965\times10^{-14}\\ \mathrm{F},
C_{\text{di}} =\frac{8{,}85\times10^{-12}\cdot4{,}6\cdot9{,}0\times10^{-6}}{3{,}0\times10^{-3}} =1{,}2213\times10^{-13}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Equivalente em série da região sob o cubo:
\frac{1}{C_{\text{s}}} =\frac{1}{C_{\text{ar1}}} +\frac{1}{C_{\text{di}}} +\frac{1}{C_{\text{ar2}}} =2\cdot\frac{1}{7{,}965\times10^{-14}} +\frac{1}{1{,}2213\times10^{-13}} =3{,}3295\times10^{13}\\ \mathrm{F^{-1}},
C_{\text{s}} =\frac{1}{3{,}3295\times10^{13}} =3{,}003\times10^{-14}\\ \mathrm{F}.

Passo 5

Capacitância da região restante (ar puro, espessura d=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, área A_{\text{rest}}):
C_{\text{rest}} =\frac{\varepsilon_0\,A_{\text{rest}}}{d} =\frac{8{,}85\times10^{-12}\cdot1{,}991\times10^{-3}}{5{,}0\times10^{-3}} =3{,}523\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.

Passo 6

Como as duas regiões (sob o cubo e o resto da placa) estão em paralelo, somamos:
C_{\text{total}} = C_{\text{s}} + C_{\text{rest}} =3{,}003\times10^{-14} + 3{,}523\times10^{-12} \approx3{,}553\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.

Resposta

\displaystyle C_{\text{total}}\approx3{,}55\times10^{-12}\\ \mathrm{F} (aproximadamente 3{,}55\\ \mathrm{pF}).

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