Duas cascas esféricas concêntricas, com raio
e
, são mantidas em
e
, respectivamente. Assume que o espaço entre as cascas seja livre
determine
e
.
Passo 1
O enunciado descreve duas cascas esféricas concêntricas em eletrostática, com raios internos
e externos
, mantidas nas potenciais
e
. Como o dielétrico entre elas é o vácuo (ou ar, permissão livre), o problema tem simetria esférica e sem cargas volumétricas no espaço. Para resolver, vamos usar:
- Lei de Gauss para
; - relação
; - integral de
para achar ; - condições de contorno em
e .
Passo 2
Em simetria esférica sem cargas livres entre as cascas, a densidade volumétrica é zero e, pela Lei de Gauss, o fluxo de
numa superfície esférica de raio
(com
) satisfaz
Aqui
é a carga do condutor interno. Como tudo é radial,
e
Passo 3
No vácuo vale
, logo
Para achar o potencial, usamos
Definindo
e usando
, obtemos
Passo 4
Agora impomos
. Isso dá
onde
e
. Numericamente
Repare que o sinal de
torna
, mas como a expressão no passo 3 é
, o campo vai apontar para dentro.
Passo 5
Reunindo tudo, temos:
Para
(dentro do condutor interno):
Para
:
Para
(fora do condutor externo):
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: