Duas cascas esféricas concêntricas, com raio r=0,1 m e r=2 m, são mantidas em V =0 e V=100 \mathrm{~V}, respectivamente. Assume que o espaço entre as cascas seja livre e determine V, \boldsymbol{E} e \boldsymbol{D}.

Passo 1

O enunciado descreve duas cascas esféricas concêntricas em eletrostática, com raios internos \,r_1=0,1\text{ m} e externos \,r_2=2\text{ m}, mantidas nas potenciais \,V(r_1)=0 e \,V(r_2)=100\text{ V}. Como o dielétrico entre elas é o vácuo (ou ar, permissão livre), o problema tem simetria esférica e sem cargas volumétricas no espaço. Para resolver, vamos usar:
  1. Lei de Gauss para \mathbf{D};
  2. relação \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon_0;
  3. integral de \mathbf{E} para achar V(r);
  4. condições de contorno em r_1 e r_2.

Passo 2

Em simetria esférica sem cargas livres entre as cascas, a densidade volumétrica é zero e, pela Lei de Gauss, o fluxo de \mathbf{D} numa superfície esférica de raio r (com r_1<r<r_2) satisfaz
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} \;=\; Q_{\rm int}\,.
Aqui Q_{\rm int} é a carga do condutor interno. Como tudo é radial, \mathbf{D}(r)=D_r(r)\,\hat{\mathbf r} e
D_r(r)\,4\pi r^2 \;=\; Q_{\rm int} \quad\Longrightarrow\quad D_r(r)=\frac{Q_{\rm int}}{4\pi\,r^2}\,.

Passo 3

No vácuo vale \mathbf{E}=\mathbf{D}/\varepsilon_0, logo
\mathbf{E}(r) =\frac{Q_{\rm int}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\hat{\mathbf r}\,.
Para achar o potencial, usamos
V(r)-V(r_2) \;=\; -\int_{r_2}^{r}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} =-\int_{r_2}^{r}\frac{Q_{\rm int}}{4\pi\varepsilon_0\,\rho^2}\,d\rho =\frac{Q_{\rm int}}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac1r-\frac1{r_2}\Bigr).
Definindo B=Q_{\rm int}/(4\pi\varepsilon_0) e usando V(r_2)=100, obtemos
V(r)=100+ B\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1{r_2}\Bigr)\quad(r_1\le r\le r_2).

Passo 4

Agora impomos V(r_1)=0. Isso dá
0=100+ B\Bigl(\tfrac1{r_1}-\tfrac1{r_2}\Bigr) \;\Longrightarrow\; B=-\,\frac{100}{\tfrac1{r_1}-\tfrac1{r_2}} =\frac{100\,r_1r_2}{\,r_2-r_1\,}\,,
onde r_1=0,1 e r_2=2. Numericamente
B=\frac{100\times0,1\times2}{2-0,1} =\frac{20}{1,9}\approx10{,}526\quad(\text{V}\cdot\text{m}).
Repare que o sinal de r_2-r_1>0 torna B>0, mas como a expressão no passo 3 é \tfrac1r-\tfrac1{r_2}, o campo vai apontar para dentro.

Passo 5

Reunindo tudo, temos:
Para r<r_1 (dentro do condutor interno):
V(r)=0,\quad \mathbf{E}(r)=\mathbf{0},\quad \mathbf{D}(r)=\mathbf{0}.
Para r_1\le r\le r_2:
V(r) =100 + B\Bigl(\tfrac1r-\tfrac1{r_2}\Bigr) =100+10{,}526\Bigl(\tfrac1r-\tfrac{1}{2}\Bigr)\text{ V},
\mathbf{E}(r) =-\frac{dV}{dr}\,\hat{\mathbf r} =-B\,\frac{1}{r^2}\,\hat{\mathbf r} =-\frac{10{,}526}{r^2}\,\hat{\mathbf r}\quad(\text{V/m}),
\mathbf{D}(r) =\varepsilon_0\,\mathbf{E}(r) =-\varepsilon_0\;\frac{10{,}526}{r^2}\,\hat{\mathbf r} \quad(\text{C/m}^2).
Para r>r_2 (fora do condutor externo):
V(r)=100\text{ V},\quad \mathbf{E}(r)=\mathbf{0},\quad \mathbf{D}(r)=\mathbf{0}.

Resposta

Para r<0,1:
V=0,\quad \mathbf{E}=\mathbf{0},\quad \mathbf{D}=\mathbf{0}.
Para 0,1\le r\le2:
V(r)=100+10{,}526\Bigl(\tfrac1r-\tfrac12\Bigr)\text{ V}, \quad \mathbf{E}(r)=-\frac{10{,}526}{r^2}\,\hat{\mathbf r}\text{ V/m}, \quad \mathbf{D}(r)=-\varepsilon_0\frac{10{,}526}{r^2}\,\hat{\mathbf r}\text{ C/m}^2.
Para r>2:
V=100\text{ V},\quad \mathbf{E}=\mathbf{0},\quad \mathbf{D}=\mathbf{0}.

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