Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que a sua interface se encontra no plano z=0. Para z \geq 0, \varepsilon_{r 1}=4 e para z \leq 0, \varepsilon_{r 2}=3. Um campo elétrico uniforme
E_{1}=5 a_{x}-2 a_{y}+3 a_{z} \mathrm{kV} / \mathrm{m} \text { existe para } \mathrm{z}>=0
Determine:
a) E_{2} para z \geq 0;
b) Os ângulos que E_{1} e E_{2} fazem com a interface;

Passo 1

O enunciado descreve dois dielétricos isotrópicos homogêneos justapostos no plano z=0, com
\varepsilon_{r1}=4 para z\ge0 e \varepsilon_{r2}=3 para z\le0. Em z\ge0 existe um campo uniforme
E_{1}=5\,a_{x}-2\,a_{y}+3\,a_{z}\quad\text{kV/m}.
Para achar o campo E_{2} em z\le0 e os ângulos que E_{1} e E_{2} fazem com a interface, usaremos as condições de contorno sem carga livre na interface z=0:
  1. As componentes tangenciais de \mathbf E são contínuas:
E_{1t}=E_{2t}.
  1. As componentes normais de \mathbf D=\varepsilon\mathbf E são contínuas:
D_{1n}=D_{2n}\quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_{1}E_{1n}=\varepsilon_{2}E_{2n}.

Passo 2

Decompondo E_{1} em tangencial e normal ao plano z=0:
A normal ao plano é a_{z}.
A componente normal de E_{1} é
E_{1n}=(E_{1}\cdot a_{z})=3\quad\text{kV/m},
e a componente tangencial (projeção no plano xy) é
E_{1t}=E_{1}-E_{1n}\,a_{z}=5\,a_{x}-2\,a_{y}.

Passo 3

Pela condição E_{1t}=E_{2t}, temos
E_{2t}=5\,a_{x}-2\,a_{y}.
Pela condição D_{1n}=D_{2n}, sem carga livre, \varepsilon_{1}E_{1n}=\varepsilon_{2}E_{2n}. Como \varepsilon_{1}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r1} e \varepsilon_{2}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r2}, obtemos
\varepsilon_{r1}\,E_{1n}=\varepsilon_{r2}\,E_{2n} \quad\Longrightarrow\quad E_{2n}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}\,E_{1n} =\frac{4}{3}\times3=4\quad\text{kV/m}.
Assim o campo em z\le0 é
E_{2}=5\,a_{x}-2\,a_{y}+4\,a_{z}\quad\text{kV/m}.

Passo 4

O ângulo que um campo faz com a interface (plano z=0) é o mesmo que o ângulo entre o vetor campo e o plano. Uma forma prática é usar
\alpha=\arctan\!\biggl(\frac{|E_{n}|}{\|E_{t}\|}\biggr).
Para E_{1}:
\|E_{1t}\|=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{29},\quad E_{1n}=3, \quad \alpha_{1}=\arctan\!\Bigl(\frac{3}{\sqrt{29}}\Bigr)\approx29{,}0^\circ.
Para E_{2}:
\|E_{2t}\|=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{29},\quad E_{2n}=4, \quad \alpha_{2}=\arctan\!\Bigl(\frac{4}{\sqrt{29}}\Bigr)\approx36{,}7^\circ.

Resposta

a) E_{2}=5\,a_{x}-2\,a_{y}+4\,a_{z} kV/m.
b) \alpha_{1}\approx29{,}0^\circ e \alpha_{2}\approx36{,}7^\circ.

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