Os eletrodos interno e externo de um diodo são cilindros coaxiais de raios a =0,6 m e b=30 \mathrm{~mm}, respectivamente. O eletrodo interno é mantido a 70 V , enquanto que o eletrodo externo é aterrado. (a) assumindo que o comprimento dos eletrodos l \gg a, b e desprezando os efeitos de carga espacial, calcule o potencial em \rho=15 \mathrm{~mm}. (b) se um elétron for injetado radialmente, através de um pequeno furo no eletrodo interno, com velocidade de 10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determine sua velocidade em \rho=15 \mathrm{~mm}.

Passo 1

O enunciado descreve dois eletrodos cilíndricos coaxiais de raios internos e externos
a=0{,}6\text{ mm},\quad b=30\text{ mm},
com o eletrodo interno mantido a V(a)=70\text{ V} e o externo aterrado V(b)=0.
Conteúdo: solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas sob simetria axial e conservação de energia para carga no campo elétrico.

Passo 2

Para o potencial V(\rho) entre os cilindros, a equação de Laplace radial em coordenadas cilíndricas é
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\Bigl(\rho\frac{dV}{d\rho}\Bigr)=0,
cuja solução geral é
V(\rho)=A\ln\rho + B.
Impondo V(a)=70 e V(b)=0, obtemos
\begin{cases} A\ln a + B = 70,\\\ A\ln b + B = 0, \end{cases}
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A=\frac{70}{\ln\!(a/b)},\quad B=-\,\frac{70\,\ln b}{\ln\!(a/b)}.
Reescrevendo em forma útil, fica
V(\rho)=70\,\frac{\ln(b/\rho)}{\ln(b/a)}.

Passo 3

Agora avaliamos em \rho=15\text{ mm}:
V(15)=70\,\frac{\ln\bigl(30/15\bigr)}{\ln\bigl(30/0{,}6\bigr)} =70\,\frac{\ln2}{\ln50} \approx70\cdot\frac{0{,}6931}{3{,}9120} \approx12{,}4\text{ V}.

Passo 4

Para a velocidade do elétron, usamos conservação da energia mecânica
K_1 + U_1 = K_2 + U_2,
onde K=\tfrac12 m v^2 e U=qV. Como q=-e, a variação de energia cinética ao ir de a (potencial 70) a 15 mm (potencial 12{,}4) é
\Delta K = -\Delta U = -\bigl[q\,(V_2-V_1)\bigr] =+e\,(V_1-V_2) =e\,(70-12{,}4)\text{ J}.
O elétron parte em a com v_1=10^7 m/s, logo
K_1=\tfrac12m_ev_1^2 =\tfrac12\,(9{,}11\times10^{-31})(10^7)^2 \approx4{,}56\times10^{-17}\text{ J}.
Portanto
K_2=K_1 + e\,(57{,}6) \approx4{,}56\times10^{-17} + (1{,}60\times10^{-19}\cdot57{,}6) \approx5{,}48\times10^{-17}\text{ J}.

Passo 5

A velocidade final v_2 satisfaz
\tfrac12m_ev_2^2 = K_2 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = \sqrt{\frac{2K_2}{m_e}} =\sqrt{\frac{2\cdot5{,}48\times10^{-17}}{9{,}11\times10^{-31}}} \approx1{,}10\times10^7\text{ m/s}.

Resposta

(a) V(15\text{ mm})\approx12{,}4\text{ V}.
(b) v(15\text{ mm})\approx1{,}10\times10^7\text{ m/s}.

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