Os eletrodos interno e externo de um diodo são cilindros coaxiais de raios a
, respectivamente. O eletrodo interno é mantido a 70 V , enquanto que o eletrodo externo é aterrado. (a) assumindo que o comprimento dos eletrodos
desprezando os efeitos de carga espacial, calcule o potencial em
. (b) se um elétron for injetado radialmente, através de um pequeno furo no eletrodo interno, com velocidade de
, determine sua velocidade em
.
Passo 1
O enunciado descreve dois eletrodos cilíndricos coaxiais de raios internos e externos
com o eletrodo interno mantido a
e o externo aterrado
.
Conteúdo: solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas sob simetria axial e conservação de energia para carga no campo elétrico.
Conteúdo: solução da equação de Laplace em coordenadas cilíndricas sob simetria axial e conservação de energia para carga no campo elétrico.
Passo 2
Para o potencial
entre os cilindros, a equação de Laplace radial em coordenadas cilíndricas é
cuja solução geral é
Impondo
e
, obtemos
logo
Reescrevendo em forma útil, fica
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Para a velocidade do elétron, usamos conservação da energia mecânica
onde
e
. Como
, a variação de energia cinética ao ir de
(potencial
) a
mm (potencial
) é
O elétron parte em
com
m/s, logo
Portanto
Passo 5
A velocidade final
satisfaz
Resposta
(a)
(b)
(b)